SVG 路径上的 Catmull-Rom 插值答案

【问题标题】：Catmull-Rom interpolation on SVG PathsSVG 路径上的 Catmull-Rom 插值
【发布时间】：2015-08-25 05:33:39
【问题描述】：

我正在尝试使用 SVG 路径创建高性能、美观的铅笔工具。

我正在记录鼠标坐标以绘制路径。为了获得高保真路径（精确到用户的移动），我需要为每个像素移动记录一个点。

保留路径中的每个点会创建大量点，这对于以后的协作功能不是理想（来回发送大量点效率不高），加上解析每次我需要操纵它们的巨大路径是一个瓶颈

在路径的线性区域，冗余点被移除，只保留代表路段所需的点 - 我使用Ramer-Douglas-Peucker 算法来做到这一点。

但简化路径会将其变成低保真多边形

此时路径实际上只是连接的线 - 因此路径看起来是锯齿状的。

一种可能的解决方案是将路径点与 Cubic Bezier's 连接 - 但是这在简化路径上效果不佳。每个点之间的距离对于三次贝塞尔曲线来说太大而无法“坐”好，因此平滑的路径不再准确地代表用户的预期路径。

另一种解决方案是在原始路径上简单地使用“后处理”算法，例如 Schneider's Algorithm - 该算法实际上不会实时工作，因为它会消耗性能

理想的解决方案

（我认为）可行的解决方案是使用Centripetal Catmull-Rom 插值。

在我研究的所有算法中，这似乎是最有前途的：

它不会在狭窄的拐角处产生自相交
它更贴合点，因此更准确地表示原始路径。

Catmull-Rom 是一种插入一系列常规 x/y 点或原始路径是否需要由曲线？

【问题讨论】：

像许多其他编程语言一样，SVG 可以绘制二次和三次贝塞尔曲线和弧线，规范中没有任何更花哨的东西。
@HummelingEngineering 是的，我知道，我什至在问题中提到了它
@Nicholas_Kyriakides 这是您第二个问题的答案。我认为你必须使用一系列贝塞尔曲线来描述你的路径，控制点来自 Catmull-Rom 算法。
是的 - 但是如何是可行的问题
@Nicholas_Kyriakides 你没有在你的问题中提到贝塞尔曲线，虽然这是在 SVG 中使某些东西变得平滑的唯一方法，所以无论如何你最终都会使用它们。当您已经使用 Ramer–Douglas–Peucker 算法减少数据时，您是否尝试将这些数据用作 Bezier 控制点？

标签： svg computational-geometry curve-fitting catmull-rom-curve

【解决方案1】：

直接回答您的问题：

是的。 Catmull-Rom spline 是一种插入一系列 (x, y, z) 点的算法。它将在每两个连续点之间生成一条三次多项式曲线。
您不能直接将 Catmull Rom 样条用于 SVG 路径。您需要先将其转换为三次贝塞尔曲线。

对于由点 P0、P1、P2 和 P3 和节点序列 t0、t1、t2、t3 定义的曲线段，可以通过提供的递归公式计算向心 Catmull-Rom 样条（定义在点 P1 和 P2 之间）在https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_Catmull%E2%80%93Rom_spline。因此，我在此不再赘述。

要将其转换为三次贝塞尔曲线，您需要计算第一个 P1 和 P2 的导数为

M1 = (t2-t1)*(c1*(P1-P0)/(t1-t0) + c2*(P2-P1)/(t2-t1))
M2 = (t2-t1)*(d1*(P2-P1)/(t2-t1) + d2*(P3-P2)/(t3-t2))

在哪里

 c1 = (t2-t1)/(t2-t0),
 c2 = (t1-t0)/(t2-t0),
 d1 = (t3-t2)/(t3-t1),
 d2 = (t2-t1)/(t3-t1)

然后您可以将其转换为具有 4 个控制点的三次贝塞尔曲线：Q0、Q1、Q2 和 Q3：

Q0 = P1
Q1 = P1 + M1/3
Q2 = P2 - M2/3
Q3 = P2

【讨论】：

我理解 P0、P1、P2 和 P3 是一系列 x/y 点，我将把它们输入 CR 方程。什么是结序列，结果我从 CR 方程中得到什么？
结序列是分配给每个数据点的参数。您需要按照我帖子中 Wiki 页面中记录的方式分配参数以获得向心 CR 样条。一旦你有了结序列，你就可以获得三次贝塞尔曲线的控制点。
谢谢 - 除了一件事，我还有一些工作得很好。我有一个封闭的形状，很少有样条通过错误的控制点。这可能是另一个问题 TBH 但你知道 CR '混淆'控制点的任何情况（因为缺乏更好的词）吗？我怀疑浮点数稳定性的情况。
我无法仅从简短的文本描述中找出问题所在。如果没有更详细的描述（最好是显示问题的图片），我无法推测任何事情。对不起。
很抱歉 - 是 Ramer-Douglas-Peucker 的问题。 Catmull-Rom 完美运行 - 再次感谢

【解决方案2】：

我为此使用插值三次

采样点在
- 鼠标在任意轴方向改变
- 如果鼠标移动了一些距离以获得更高的精度可以添加：如果方向角度变化太大（我不使用这个）
- 如果鼠标停止（如果您也使用鼠标向上/向下，这可以忽略）
使用采样点作为插值三次的控制点

请参阅Interpolation cubic vs. Bezier cubic，您还会发现插值和贝塞尔三次之间的转换

如果这还不够，你可以加入相同方向的线

这里是这样的手绘示例：

还有 SVG：

<svg width="512" height="512" viewBox="-131.734968 -63.890725 383.802249 203.65153" >
 <path fill="none" stroke="black" stroke-width="1px" data-tool="-1" data-cfg="-1" data-group="-1" data-hair="0" data-dir="0" transform="matrix(1,0,0,1,0,0" d="M -81.842337 36.317509 c 0 0 -0.494188 0.282842 0 0 c 0 0 4.1653 -2.262737 4.447693 -2.545579 c 0.494188 -0.282842 2.188547 -2.262737 2.541539 -2.545579 c 0.282393 -0.282842 2.823932 -2.192026 3.176923 -2.545579 c 0.352991 -0.282842 2.965128 -2.828421 3.176923 -3.181974 c 0.352991 -0.353552 1.623761 -2.899132 1.906154 -3.181974 c 0.211794 -0.353552 2.329744 -2.192026 2.541539 -2.545579 c 0.282393 -0.282842 1.623761 -2.969842 1.906154 -3.181974 c 0.211794 -0.353552 2.400342 -1.697053 2.541539 -1.909184 c 0.282393 -0.212131 0.988376 -1.626342 1.270769 -1.909184 c 0.141196 -0.212131 2.329744 -2.333447 2.541539 -2.545579 c 0.282393 -0.282842 1.411966 -1.626342 1.906154 -1.909184 c 0.211794 -0.212131 3.953505 -2.474869 4.447693 -2.545579 c 0.494188 -0.282842 4.024103 -0.565684 4.447693 -0.636394 c 0.494188 -0.07071 3.247522 -0.494973 3.812308 -0.636394 c 0.423589 -0.07071 4.730086 -1.272789 5.083078 -1.272789 c 0.564786 -0.141421 2.823932 0 3.176923 0 c 0.352991 0 2.823932 0 3.176923 0 c 0.352991 0 2.753333 0 3.176923 0 c 0.352991 0 3.31812 -0.212131 3.812308 0 c 0.423589 0 4.024103 1.626342 4.447693 1.909184 c 0.494188 0.212131 3.459317 2.192026 3.812308 2.545579 c 0.423589 0.282842 2.965128 2.828421 3.176923 3.181974 c 0.352991 0.353552 1.764957 2.61629 1.906154 3.181974 c 0.211794 0.353552 1.270769 4.454764 1.270769 5.091159 c 0.141196 0.565684 0 5.23258 0 5.727554 c 0 0.636394 0 3.889079 0 4.454764 c 0 0.494973 -0.070598 4.596185 0 5.091159 c 0 0.565684 0.423589 4.101211 0.635384 4.454764 c 0.070598 0.494973 1.623761 2.899132 1.906154 3.181974 c 0.211794 0.353552 1.976752 2.474869 2.541539 2.545579 c 0.282393 0.282842 4.730086 0.636394 5.083078 0.636394 c 0.564786 0.07071 2.753333 0 3.176923 0 c 0.352991 0 3.529915 0 3.812308 0 c 0.423589 0 2.04735 0 2.541539 0 c 0.282393 0 4.024103 0 4.447693 0 c 0.494188 0 3.459317 0.07071 3.812308 0 c 0.423589 0 2.89453 -0.565684 3.176923 -0.636394 c 0.352991 -0.07071 2.04735 -0.353552 2.541539 -0.636394 c 0.282393 -0.07071 4.235898 -2.404158 4.447693 -2.545579 c 0.494188 -0.282842 1.482564 -0.989947 1.906154 -1.272789 c 0.211794 -0.141421 3.600513 -2.262737 3.812308 -2.545579 c 0.423589 -0.282842 1.694359 -2.262737 1.906154 -2.545579 c 0.211794 -0.282842 1.623761 -2.192026 1.906154 -2.545579 c 0.211794 -0.282842 2.329744 -2.969842 2.541539 -3.181974 c 0.282393 -0.353552 1.553162 -1.555631 1.906154 -1.909184 c 0.211794 -0.212131 2.823932 -2.899132 3.176923 -3.181974 c 0.352991 -0.353552 2.823932 -2.333447 3.176923 -2.545579 c 0.352991 -0.282842 2.753333 -1.697053 3.176923 -1.909184 c 0.352991 -0.212131 3.459317 -1.838474 3.812308 -1.909184 c 0.423589 -0.212131 2.823932 -0.565684 3.176923 -0.636394 c 0.352991 -0.07071 2.823932 -0.636394 3.176923 -0.636394 c 0.352991 -0.07071 2.823932 0 3.176923 0 c 0.352991 0 2.541539 -0.07071 3.176923 0 c 0.352991 0 5.436069 0.353552 5.718462 0.636394 c 0.635384 0.07071 2.400342 2.050605 2.541539 2.545579 c 0.282393 0.282842 1.058974 4.030501 1.270769 4.454764 c 0.141196 0.494973 1.835555 3.394106 1.906154 3.818369 c 0.211794 0.424263 0.423589 3.323395 0.635384 3.818369 c 0.070598 0.424263 1.553162 3.95979 1.906154 4.454764 c 0.211794 0.494973 2.753333 4.313343 3.176923 4.454764 c 0.352991 0.494973 3.459317 1.131368 3.812308 1.272789 c 0.423589 0.141421 2.823932 1.202079 3.176923 1.272789 c 0.352991 0.141421 2.682735 0.636394 3.176923 0.636394 c 0.352991 0.07071 3.74171 0 4.447693 0 c 0.494188 0 6.000856 0 6.353847 0 c 0.705983 0 2.753333 0 3.176923 0 c 0.352991 0 3.459317 0.07071 3.812308 0 c 0.423589 0 2.682735 -0.424263 3.176923 -0.636394 c 0.352991 -0.07071 4.1653 -1.697053 4.447693 -1.909184 c 0.494188 -0.212131 2.259145 -1.697053 2.541539 -1.909184 c 0.282393 -0.212131 2.04735 -1.697053 2.541539 -1.909184 c 0.282393 -0.212131 4.235898 -1.626342 4.447693 -1.909184 c 0.494188 -0.212131 1.553162 -2.333447 1.906154 -2.545579 c 0.211794 -0.282842 2.753333 -1.697053 3.176923 -1.909184 c 0.352991 -0.212131 3.529915 -1.767763 3.812308 -1.909184 c 0.423589 -0.212131 2.04735 -1.202079 2.541539 -1.272789 c 0.282393 -0.141421 4.094701 -0.636394 4.447693 -0.636394 c 0.494188 -0.07071 2.823932 0 3.176923 0 c 0.352991 0 2.823932 0 3.176923 0 c 0.352991 0 2.753333 0 3.176923 0 c 0.352991 0 3.388718 -0.212131 3.812308 0 c 0.423589 0 3.388718 1.767763 3.812308 1.909184 c 0.423589 0.212131 3.459317 0.919237 3.812308 1.272789 c 0.423589 0.141421 2.965128 2.969842 3.176923 3.181974 c 0.352991 0.353552 1.764957 1.555631 1.906154 1.909184 c 0.211794 0.212131 1.058974 2.899132 1.270769 3.181974 c 0.141196 0.353552 1.835555 2.192026 1.906154 2.545579 c 0.211794 0.282842 0.352991 2.828421 0.635384 3.181974 c 0.070598 0.353552 2.259145 2.899132 2.541539 3.181974 c 0.282393 0.353552 2.117949 2.474869 2.541539 2.545579 c 0.282393 0.282842 3.459317 0.565684 3.812308 0.636394 c 0.423589 0.07071 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如果您使用阈值游戏，它大约为 20KB，您可以显着降低点数。这已根据我的需要进行了调整。

这里是鼠标跟随在绘图过程中的感觉示例（在绘图过程中实时捕获）

【讨论】：

我不想要求比您已经提供的更多信息，但是，如果您知道，这与我提出的解决方案相比如何？原始路径->RDP->Catmull-Rom？在准确性/点数/速度方面。
@NicholasKyriakides 不知道我不直接使用BEZIER（也不是Catmul-ROM）这些是插值三次，所以路径通过采样点不近似于它们并且点被转换为SVG贝塞尔三次控制点，所以曲线不会以任何方式改变，所以这应该足够精确。唯一可能更糟的是极端的方向变化质量，例如小半径和/或螺旋螺钉，但这对我来说已经足够了，我正在使用 SVG 路径驱动多维 CNC 机器（因此路径中的附加数据，如工具配置.. .)
@NicholasKyriakides 速度是实时的，点转换是 O(1) 使用两个 + 两个 - 和两个 * 每个立方和维度的操作，所以没有问题。永远不要实际测量时间，因为它是直接在鼠标事件中计算的......而且时间测量可能会比过程本身花费更多的时间
@Spektre：在检查了你的“插值三次”的公式后，它实际上是统一的 Catmull Rom 样条。
@NicholasKyriakides 刚刚完成了我的 gif 捕获多线程实现以加速实时编码，并且在测试时也将它添加到我的 svg 编辑器中，所以请在我的答案底部查看添加的图像，这样你就可以看到曲线在编辑过程中看起来很喜欢（用于与您的引擎进行比较）

【解决方案3】：

On the Parameterization of Catmull-Rom Curves 见公式[2]

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【讨论】：