从集合中选择值以匹配目标值的算法？答案

【问题标题】：Algorithm to pick values from set to match target value?从集合中选择值以匹配目标值的算法？
【发布时间】：2011-02-23 19:13:55
【问题描述】：

我有一个大约 300 项长的固定整数值数组（集合 A）。该算法的目标是根据输入 R 从该数组中选择两个符合多个标准的数字（X 和 Y）。

正式要求：
从集合 A 中选取值 X 和 Y 使得表达式 X*Y/(X+Y) 为尽可能接近 R。

仅此而已。我需要一个简单的算法来做到这一点。

其他信息：
集合 A 可以以任何方式排序或存储，最终将被硬编码。此外，通过一点数学，可以证明给定 X 的最佳 Y 是 Set A 中最接近的值表达式 X*R/(XR)。此外，X 和 Y 将始终大于 R

由此，我得到了一个可以正常工作的简单迭代算法：

int minX = 100000000;
int minY = 100000000;
foreach X in A
    if(X<=R)
        continue;
    else
        Y=X*R/(X-R)
        Y=FindNearestIn(A, Y);//do search to find closest useable Y value in A
        if( X*Y/(X+Y) < minX*minY/(minX+minY) )
        then
            minX = X;
            minY = Y;
        end
    end
end

我正在寻找一种比这种蛮力方法更优雅的方法。有什么建议吗？

【问题讨论】：

你为什么称之为蛮力？蛮力将为所有X 尝试所有Y。你所拥有的是一个线性算法，它是最优的。好吧，也许你实际上可以进行二分搜索......
算法不是线性的——示例代码只计算最优的Y值，而不在集合A中搜索与计算值最接近的值。使用二进制搜索添加此搜索使算法在 O(n*log(n)) 中运行。
这听起来像是从一组可用电阻中找到两个电阻，以尽可能接近地匹配并联电路中的所需电阻。
@Daniel 实际上就是这样，我只是想将它简化为一个算法问题，以使其特定于编程。目标是找到一对接近所需电阻的并联电阻
另一个有趣的问题是寻找电阻的最佳组合，而不是将组合限制为对，但允许任意基数。在这种情况下，如果 1/R1、1/R2、...1/RN（其中 R1...RN 是可用电阻）的（排序）值正在超增（en.wikipedia.org/wiki/Superincreasing_sequence），那么这个问题是微不足道的：这正是收银员会做的（假设无限硬币/纸币）给你一个指定的金额。这正是货币细分正在超级增长的原因！ 1,2,5,10,20,50 等（而不是例如 1,2,3,5,8,12 等）

标签： algorithm search performance

【解决方案1】：

有关可能“更优雅”的解决方案，请参阅解决方案 2。

解决方案 1)

为什么不创建 R 的所有可能的 300*300/2 或 (300*299/2) 可能的 exact 值，将它们排序到数组 B 中，然后给出一个R，使用二分查找在B中找到最接近R的值，然后选择对应的X和Y。

我认为拥有数组 B（带有 X&Y 信息）不会占用大量内存，并且可以轻松进行硬编码（使用代码编写代码！:-)）。

这将相当快：最坏的情况 ~ 17 次比较。

解决方案 2)

您还可以执行以下操作（未尝试证明，但似乎正确）：

维护一个 1/X 值的数组，已排序。

现在给定一个 R，您尝试在 1/X 数组中找到最接近 1/R 的和。

为此，您需要维护两个指向 1/X 数组的指针，一个最小，一个最大，并不断增加一个并减少另一个以找到最接近 1/R 的一个。（这是一道经典的面试题：求一个有序数组是否有两个数之和为 X）

在最坏的情况下，这将是 O(n) 的比较和加法。这也容易出现精度问题。不过，您可以通过维护一个反向排序的 X 数组来避免一些精度问题。

【讨论】：

在我相信的大多数系统上，这将占用大约 2MB 的内存。
@CSharperWithJava：这不能接受吗？你总是可以把它放在磁盘支持的 B-Tree 中！ ;-)
但是单个磁盘访问可能会比原来的 O(nlogn) 算法慢！ :)
@Dimitris：也许吧，但是做一百万个，并且使用操作系统缓存页面/良好的页面替换策略，基于磁盘的一个可能仍然会击败另一个。当然，如果使用 2MB 内存本身有问题，我怀疑磁盘也可能不可用（可能是某些嵌入式设备）。
是的，RAM 就是他们所说的新磁盘 :)

【解决方案2】：

我想到了两个想法：

1) 由于集合 A 是常数，一些预处理可能会有所帮助。假设 A 的值范围不太大，可以创建一个大小为 N = max(A) 的数组。对于每个索引 i，您可以将 A 中的 最接近 值存储到 i。这样，您可以通过在恒定时间内找到最接近的值来改进您的算法，而不是使用二进制搜索。

2) 我看到你省略了 X2R 也不会产生任何解。所以要扫描的范围是R

【讨论】：

关于范围限制的要点。这很有帮助。

【解决方案3】：

当输入的大小（大致）恒定时，O(n*log(n)) 解决方案可能比特定 O(n) 解决方案运行得更快。

我会从您最了解的解决方案开始，并在需要时从那里进行优化。

【讨论】：

顺便说一下，如果n是一个常数，O(n*logn)就是O(1) :)
是的，但是如果我在另一个循环中使用这个算法来计算许多 Rs 的许多 X 和 Y 值，O(1) 可能太长了。
@Dimitris - 这就是我的观点。由于输入大小是固定的，所有算法都是常数时间，所以你需要关注哪个常数较小，而不是作为n的函数，哪个具有更好的运行时间。