有什么方法可以根据插入/删除序列有效地重建集合？答案

【问题标题】：Is there any way to efficiently reconstruct a collection based on a sequence of inserts/removals?有什么方法可以根据插入/删除序列有效地重建集合？
【发布时间】：2011-06-23 06:22:52
【问题描述】：

注意：下面的代码恰好是 C#，但实际上任何语言的答案都会对我有所帮助。

假设不是一个实际的集合（例如，List<T>），我有一个操作序列，每个操作看起来像这样：

struct ListOperation<T>
{
    public enum OperationType { Insert, Remove }

    public OperationType Type;
    public T Element; // irrelevant for OperationType.Remove
    public int Index;
}

有没有什么方法可以有效地根据一系列这样的操作“重建”一个集合？

特别是，我希望避免明显（低效）的实现，即基本上只为每个元素创建一个 List<T> 并调用 Insert 和 RemoveAt——这两个操作都是 O(N) 次。

更新：假设操作的“序列”实际上是一个具体的集合，其计数是已知的，并且可以通过索引随机访问（例如，像 ListOperation<T>[]）。还假设 resulting 集合的实际计数是已知的（但实际上，无论如何，通过计算插入和删除，这在 O(N) 中是微不足道的）。还有其他想法吗？

【问题讨论】：

是否可以从头到尾阅读或仅从头到尾阅读？
顺便说一句，插入或删除可能是 O(1)，最坏的情况是 O(n)，但我想你知道
这是一个真棒的问题。我今天没有 + 投票，但我一定会在明天到来时尽快投票。
有趣。主要困难在于Index 与创建操作（插入/删除）时列表的当前状态有关。
@Rune FS：操作本身在任一方向上都是可读的。是的，我知道插入/删除可能很快；这是你提到的我试图避免的 O(n) 最坏情况。 @templatetypedef：谢谢；）我昨天在做一个项目时遇到了这个挑战，我个人觉得它真的很有趣——认为把它带到 SO 是个好主意！ @Matthieu M.：是的，这似乎确实是个大问题。我希望有一个聪明的方法来解决它，但是......无论如何，看起来我已经有了一些想法。

标签： performance algorithm data-structures collections language-agnostic

【解决方案1】：

我认为您可以通过使用索引平衡二叉树（每个节点存储其左右节点数的二叉树）在 O(n lg n) 中做到这一点。使用这种结构，您可以通过遍历树以找到新元素所属的位置，然后进行任何必要的修复以保持平衡条件（例如，如果是红黑树，你会做红黑树修复）。

鉴于此设置，您可以在 O(n lg n) 中将所有操作重放为像这样的树结构，因为每个单独的操作最多需要 O(lg n) 才能完成。一旦你有了树，你就可以对元素进行中序遍历以使它们以正确的顺序返回，并且可以在 O(n) 时间内将所有值附加到结果列表中，用于 O(n lg n)。

我会更多地考虑这个问题，看看我是否能想出一种在线性时间内做到这一点的方法。与此同时，这至少表明可以在次二次时间内做到这一点。

【讨论】：

不要考虑所有项目的线性时间，如果你能做到这一点，你可以在线性时间插入它们，在删除每个项目时你可以输出它（打印它）并删除使用 removeat(1), removeat(2), ... 所以你将在线性时间内输出排序列表，但这是不可能的（对于比较基本方法，你的插入应该有某种比较来填充平衡二叉树）。
@Saeed- 我不明白你在说什么。这不会打破 O(n lg n) 的排序障碍，也不会尝试对任何东西进行排序。你能澄清你的担忧吗？
您是否会说您希望如何在 O(log(N)) 中插入项目以及如何在没有比较方法的情况下在 O(log(n)) 中插入平衡树？如果您使用比较方法，您可以按排序顺序输出您的项目，并且如果您有一些 O(x) 方式来插入或删除树以及平衡树（这是 O(x) 对于 n 项的总和是 O(n) ) 你可以通过删除 O(n) 中的项目来对它们进行排序，我不是说你对它们进行排序，但我是说平衡树的构建需要比较方法，你使用的任何方法都可以用于排序。
@Saeed- 啊，我明白你在说什么。您实际上不需要比较来平衡树；如果您考虑一下，即使节点本身没有任何特定的排序顺序，任何树都可以是红/黑树。这个想法是采用红/黑树的形状，并使用它来按顺序存储一系列（未排序的）值，以这样的方式存储它们，以便中序遍历访问它们所需的顺序。 CLRS 对此进行了讨论。顺便说一句，我不打算让这个系统在 O(n) 时间内工作……我希望这需要一些新的东西。
这个结构有个名字：订单统计树。

【解决方案2】：

我有一种预感，可能存在 O(n) 算法。

第 1 步：

对索引进行数字化基数排序。花费 O(n) 时间。如果从 LSB 端完成，这是一个稳定的排序。

第 2 步：

假设有索引为 i 的操作，但没有未完成的索引较小的操作。然后我们可以以正确的顺序在索引 i 处重放操作。具体来说，我不清楚“插入”和“删除”操作在做什么。最坏的情况是 O(n lg n) 与二叉树的思想，但也许重播可以在 O(n) 中完成，因为它是本地的。

第三步：

将第 2 步提升到一个归纳论证，作为正确性的证明。在索引 i 处的步骤之后，需要维护一个不变量和一个较短的操作列表，因此通过归纳，...（详细信息）...

【讨论】：