当比较不花费时间时进行排序答案

【问题标题】：Sorting when comparisons cost no time当比较不花费时间时进行排序
【发布时间】：2018-04-02 19:54:48
【问题描述】：

我想在这个成本模型下对一个数组 A 进行排序：

对于任何值 x，A[i] = x 形式的赋值的成本为 1。此外，A[i] = A[j] 的成本为 1。
其他操作，例如比较和赋值 for x = A[i]（其中 x 不是数组中的位置）的成本为 0。

问题：

给出对数组 A 进行排序所需的最坏情况时间的下限。您的答案应该是关于 n 的精确表达式，而不是使用渐近符号。
描述一种使用 O(n) 空间的排序算法。运行时应该与 1 中给出的下限完全匹配（完全一致，不是渐近的）。
描述一种最适合此成本模型的就地排序算法。运行时应与 1 中给出的界限完全匹配（完全一致，而非渐近）。

我的尝试：

n.这是因为，在最坏的情况下，数组的 n 个元素位于它们不应该在的索引中。因此需要 n 次赋值才能使数组按排序顺序。

我的伪代码算法：

def weird_sort(A):
    B = an array the same size of A
    C = an array of bools (default True) the same size of A
    for i in range(0, A.size):
        min = first index in c that is True
        for j in range(0, A.size):
            if (A[j] < A[min]) and (C[j]):
                min = j
        B[i] = A[min]
        C[i] = False
    A = B

我相信这需要 n 时间来运行，因为我们将任何东西分配给 A 的唯一一次是在最后一行，我们将 B 的内容复制到 A。

不知道从哪里开始。在我看来，为了使所有内容保持原样，我们必须交换数组 A 中的内容，但我不知道如何使用 n/2 交换对数组进行排序。有人可以让我朝着正确的方向前进吗？你也可以仔细检查我对 1 和 2 的回答吗？

【问题讨论】：

这对cs.stackexchange.com来说可能是一个更好的问题
这听起来就像发明循环排序的确切情况。 :-)

标签： arrays algorithm performance sorting

【解决方案1】：

我认为就地允许O(1) 附加变量，否则我认为不可能

首先让我们解决子问题：给定i，找到应该在i-th 位置的数字。由于比较是免费的，因此可以使用暴力破解。

现在复制第一个元素（到附加变量），找到最小的元素并将其放在位置 1。现在这个元素在位置 i。让我们找到应该在位置i的元素并将它复制到这里（假设它在位置j上），现在找到属于位置j的元素，等等。最终我们找到了我们最初复制的元素，把它放回去.因此，我们使用k 赋值（在循环结构中）将k 变量设置到它们的位置。现在对所有其他元素执行相同的操作。你不记得每个变量是否放在它的位置，但你可以免费检查它是否在它的位置。

如果 A 中有相同的元素，这应该更小心，但它仍然可以工作

【讨论】：

【解决方案2】：

虽然在谈到高效排序算法时，我们通常倾向于谈论快速排序，这种算法对比较次数进行了优化。

但是，其他算法尝试优化内存访问次数（如您的情况）。其中一些被称为缓存遗忘算法（不对特定的内存层次结构参数做出假设）和缓存感知算法（它们针对特定的内存层次结构进行了调整）。您可以找到多种此类算法，因此您可能有兴趣看看它们。

作为一个例子，Harald Prokop's PhD thesis 讨论了缓存忽略算法，并提出了分布排序，它对可能适合内存层次结构较低分区的子组中的数据进行部分排序。

分布排序使用O(n ln(n))工作并导致O(1+ (L/n)*(1+logz(n))缓存未命中来对n个元素进行排序。

其中 L 是缓存库的大小，z 是缓存本身的大小。性能模型仅假设只有一个缓存级别，尽管由于遗忘属性，它可以适应所有缓存级别。

基本概念是分配成本根据元素在内存层次结构中的位置而变化。

【讨论】：