为什么特征向量与对应特征值的乘积不等于原矩阵与特征向量的乘积？

Question

当我将一个特征向量乘以一个矩阵时，它应该得到与将该特征向量乘以其对应的特征值相同的输出。我正在尝试验证我的特征向量和特征值是否像宣传的那样工作，但输出似乎不正确。

cov_matrix = np.cov(scaled_data)
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(cov_matrix)

a = cov_matrix.dot(eig_vecs[:, 0])
b = eig_vecs[:, 0] * eig_vals[0]

当我打印 a 和 b 时，它们的形状相同，但它们的值都不同。这里出了什么问题？

Answer 1

尝试以下方法：

import numpy as np

np.random.seed(42) # for reproducibility
A = np.random.random((10,10)) + np.random.random((10,10)) * 1j
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)

np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0])
>>> False

请记住，np.linalg.eigh 返回复数 Hermitian（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量。所以对于厄米矩阵：

A = (A + A.T.conj())/2  # Here A is forced Hermitian now
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(A)

print(np.allclose(A @ eig_vecs[:, 0], eig_vals[0] * eig_vecs[:, 0]))
>>> True

在对角化之前检查cov_matrix 是否与np.allclose(cov_matrix, cov_matrix.T.conj()) 等对称。如果没有，您可以使用np.linalg.eig。