Cormen 中关于插入排序的矛盾

Question

在 Cormen 定理 3.1 中说

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例如，插入排序的最佳情况运行时间是big-omega(n)，而最坏情况 插入排序的运行时间是Big-oh(n^2)。 因此插入排序的运行时间介于 big-omega(n) 和 Bigoh(n^2)

之间

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现在如果我们看一下练习 3.1-6，它会问

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证明一个算法的运行时间是Big-theta(g(n))当且仅当它的最坏情况运行时间是Big-oh(g (n))，其最佳情况运行时间为big-omega(g(n))

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• 我是唯一一个在这里看到矛盾的人吗？
• 我的意思是，如果我们遵守必须证明的问题，我们会得出结论，对于渐近更紧密的界限 (f(n) = Big-theta(g(n)))，我们需要f(n) = big-omega(g(n)) 表示算法的 最佳情况 和 Big-oh(g(n)) 在其最坏的情况下
• 但在插入排序的情况下，最佳情况时间复杂度是 big-omega(n) 而最坏情况时间复杂度是 大哦(n^2)

Answer 1

我觉得你在这里有点困惑。让我为你澄清几点。

运行时间可能意味着两件事：程序的实际运行时间，或者像 theta 或 big-oh 这样的有界函数（因此调用此时间复杂度会有所帮助，以避免混淆）。下面我们将使用运行时间来表示程序的实际运行时间，并用时间复杂度来表示 Big-Oh/theta 符号。

要拿起 Big-Oh，请阅读我的回答 here。

一旦你清楚 Big-Oh，其他函数就很容易就位了。当我们说 T(n) 是 Omega(g(n)) 时，我们的意思是在某个点 k 的右侧曲线 cg(n ) 从下方限定运行时间曲线。或者换句话说：

T(n)>=c.g(n) for all n>=k, and for some constant c independent of input size.

theta 表示法就像是在说“我只是一个函数，但使用不同的常数可以让我从上方和下方绑定运行时间曲线”

所以当我们说 T(n) 是 theta(g(n)) 时，我们的意思是

c1.g(n)==k

现在我们知道了这些函数的含义，让我们看看 CLRS 是在哪里混淆的。

例如，插入排序的最佳情况运行时间是 big-omega(n)，而插入排序的最坏情况运行时间是 Big-oh(n^2)。因此插入排序的运行时间介于 big-omega(n) 和 Bigoh(n^2) 之间

这里的运行时间CLRS是指实际运行时间T(n)。措辞不好，你误解不是你的错。事实上我会继续说他们错了。没有什么像介于之间，一个函数要么在集合 O(g(n)) 中，要么不在。所以这是一个错误。

证明一个算法的运行时间是 Big-theta(g(n)) 当且仅当其最坏情况下的运行时间是 Big-oh(g(n)) 并且其最佳情况下的运行时间是 big-omega(g( n))

这里的 CLRS 表示运行时间函数 T(n)，他们希望您计算出时间复杂度。

Answer 2

这里没有矛盾。该问题仅表明证明Big-Theta(g(n)) 被Big-O(g(n)) 和Big-Omega(g(n)) 逼近紧密。如果你证明这个问题，你只证明一个函数在Big-Theta(g(n)) 中运行当且仅当它在Big-O(g(n)) 和Big-Omega(g(n)) 之间运行。

插入排序从Big-Omega(n) 运行到Big-Oh(n^2)，因此插入排序的运行时间不能与Big-Theta(n^2) 紧密绑定。

事实上，CLRS 从不使用Big-Theta(n^2) 来进行紧密绑定的插入排序。

Answer 3

没有矛盾，因为 CLRS 没有提到插入类型是 theta(N^2)。