给定 M 最大值的每个基于比较的排序算法的时间复杂度下限 Ω(nlogn)

Question

给定具有n个元素[1,...,n]的数组的最大元素M，每个基于比较的排序算法的时间复杂度下限Ω(nlogn)如何受到影响？我必须强调给出了数组的最大元素 M。

Answer 1

不受影响。

请注意，有n! 可能的排列，并且每个比较 OP 都有 2 个可能的结果 - “左边更高”或“右边更高”。
对于任何基于比较的算法，每个“决定”都是根据一次比较的结果做出的。

因此，为了成功确定任何排列的正确顺序，您将需要（在最坏的情况下）log₂(n!) 个比较。
但是，众所周知，log₂(n!) 在 Theta(nlogn) 中 - 无论范围如何，您都会回到 Omega(nlogn) 的下限手。

请注意，存在其他不使用（仅）比较的方法可以更有效地对整数进行排序。

Answer 2

如果M 确实是数组元素绝对值的界限，并且元素是整数，则可以在O(n + M) 时间内对数组进行排序，方法是将单独的数组int occurrences[2M + 1]; 初始化为@ 987654324@，扫描您的原始数组并计算每个元素的出现次数，并使用occurrences 写入输出数组。

如果元素是浮点数（形式上为实数），则对它们的大小进行限制没有影响。

如果元素是整数并且可以是负数（正式地，任意大的整数），那么对大小设置上限没有影响。

编辑：第一段有O(n)，应该是O(n + M)。