混合 NumPy longdouble 和 SymPy 数值计算——那么精度呢？

Question

我有一个代码，其中一部分计算使用 NumPy 函数和 longdoubles 完成，另一部分使用 SymPy 符号微分和数值评估，然后连接在一起（到 SymPy 浮点数）。 Sympy 评估可以以任意精度完成，但什么精度才足够好，即不会“污染”longdoubles 结果？据我了解，NumPy longdouble 实际上只有 80 位长，尽管在我的系统上被称为 float128。 Wikipedia 表示大约 80 位精度：

80 位格式的十进制和二进制之间转换的界限可以如下给出：如果一个具有最多 18 位有效数字的十进制字符串被正确舍入为 80 位 IEEE 754 二进制浮点值（如在输入) 然后转换回相同数量的有效十进制数字（与输出一样），那么最终的字符串将与原始字符串完全匹配；而相反，如果 80 位 IEEE 754 二进制浮点值被正确转换并（最接近）四舍五入为具有至少 21 个有效十进制数字的十进制字符串，然后转换回二进制格式，它将与原始格式完全匹配。

另外，我在交互式提示中挖掘：

>>> numpy.finfo(numpy.double).precision
15
>>> numpy.dtype(numpy.double).itemsize
8
>>> numpy.finfo(numpy.longdouble).precision
18
>>> numpy.dtype(numpy.longdouble).itemsize
16
>>> 

所以，wiki 说精度取决于数字的转换方式（18 或 21 数字），而 Numpy 只是说它是 18 数字。有趣的是，默认 double 的精度等于默认 SymPy 数值计算精度（15 与 15）。

假设我将 longdouble 结果转换为 SymPy 浮点数（然后在 SymPy 上工作），我应该设置什么 SymPy 精度？ 18 数字？ 21?还有一点？

我在 Linux 64 位（Sandy Bridge）、NumPy 1.6.2、SymPy 0.7.1.rc1 上使用 Python 2.7。实际代码is here（nsk 130 行左右的类）。

Answer 1

IIRC，精度实际上取决于平台。无论如何，对于这个问题：我认为您正在查看错误的细节。

>>> print numpy.finfo(numpy.longdouble)
Machine parameters for float128
---------------------------------------------------------------------
precision= 18   resolution= 1e-18
machep=   -63   eps=        1.08420217249e-19
negep =   -64   epsneg=     5.42101086243e-20
minexp=-16382   tiny=       3.36210314311e-4932
maxexp= 16384   max=        1.18973149536e+4932
nexp  =    15   min=        -max
---------------------------------------------------------------------

eps 是满足1.0 + eps != 1.0 的最小正数，所以如果你的答案是 1 的顺序，那么你有 18 位有效小数。由于浮点运算的性质，这会随着数字本身的值而变化，但您总是会得到 18 位有效数字（无论是多少位小数）。