如果椭圆的长轴是垂直的或者水平的，边界框的计算很容易，但是椭圆旋转的时候呢？
到目前为止，我能想到的唯一方法是计算周边的所有点并找到最大/最小 x 和 y 值。好像应该有更简单的方法。
如果有一个函数（在数学意义上）以任意角度描述一个椭圆，那么我可以使用它的导数来找到斜率为零或未定义的点，但我似乎找不到。
编辑：澄清一下，我需要轴对齐的边界框，即它不应该与椭圆一起旋转，但要与 x 轴保持对齐，因此无法转换边界框。
【问题讨论】：
这是基于上述答案的打字稿功能。
export function getRotatedEllipseBounds(
x: number,
y: number,
rx: number,
ry: number,
rotation: number
) {
const c = Math.cos(rotation)
const s = Math.sin(rotation)
const w = Math.hypot(rx * c, ry * s)
const h = Math.hypot(rx * s, ry * c)
return {
minX: x + rx - w,
minY: y + ry - h,
maxX: x + rx + w,
maxY: y + ry + h,
width: w * 2,
height: h * 2,
}
}
【讨论】：
这是一个在 javascript 中围绕旋转椭圆的边界框的简单示例： https://jsfiddle.net/rkn61mjL/1/
这个想法非常简单，不需要复杂的计算和求解梯度：
计算一个简单的非旋转椭圆边界框：
let p1 = [centerX - radiusX, centerY - radiusY];
let p2 = [centerX + radiusX, centerY - radiusY];
let p3 = [centerX + radiusX, centerY + radiusY];
let p4 = [centerX - radiusX, centerY + radiusY];
围绕椭圆中心旋转所有四个点：
p1 = [(p1[0]-centerX) * Math.cos(radians) - (p1[1]-centerY) * Math.sin(radians) + centerX,
(p1[0]-centerX) * Math.sin(radians) + (p1[1]-centerY) * Math.cos(radians) + centerY];
p2 = [(p2[0]-centerX) * Math.cos(radians) - (p2[1]-centerY) * Math.sin(radians) + centerX,
(p2[0]-centerX) * Math.sin(radians) + (p2[1]-centerY) * Math.cos(radians) + centerY];
p3 = [(p3[0]-centerX) * Math.cos(radians) - (p3[1]-centerY) * Math.sin(radians) + centerX,
(p3[0]-centerX) * Math.sin(radians) + (p3[1]-centerY) * Math.cos(radians) + centerY];
p4 = [(p4[0]-centerX) * Math.cos(radians) - (p4[1]-centerY) * Math.sin(radians) + centerX,
(p4[0]-centerX) * Math.sin(radians) + (p4[1]-centerY) * Math.cos(radians) + centerY];
【讨论】：
这相对简单但有点难以解释，因为您没有向我们提供您表示椭圆的方式。有很多方法可以做到这一点..
无论如何，一般原理是这样的：您不能直接计算轴对齐的边界框。但是，您可以将 x 和 y 中的椭圆的极值计算为 2D 空间中的点。
为此，采用方程 x(t) = ellipse_equation(t) 和 y(t) = ellipse_equation(t) 就足够了。得到它的一阶导数并求解它的根。因为我们正在处理基于三角函数的椭圆，所以很简单。您应该最终得到一个通过 atan、acos 或 asin 求根的方程。
提示：要检查您的代码，请尝试使用未旋转的椭圆：您应该在 0、Pi/2、Pi 和 3*Pi/2 处获得根。
对每个轴（x 和 y）执行此操作。您最多将获得四个根（如果您的椭圆退化，则更少，例如半径之一为零）。评估根部的位置，你会得到椭圆的所有极值点。
现在你快到了。得到椭圆的边界框就这么简单，扫描这四个点的xmin、xmax、ymin和ymax。
顺便说一句 - 如果您在找到椭圆方程时遇到问题：尝试将其简化为您有一个轴对齐的椭圆，该椭圆有一个中心、两个半径和一个围绕中心的旋转角。
如果你这样做，方程变成：
// the ellipse unrotated:
temp_x(t) = radius.x * cos(t);
temp_y(t) = radius.y * sin(t);
// the ellipse with rotation applied:
x(t) = temp_x(t) * cos(angle) - temp_y(t) * sin(angle) + center.x;
y(t) = temp_x(t) * sin(angle) + temp_y(t) * cos(angle) + center.y;
【讨论】：
= 应该是*。我认为这对每个人来说都是显而易见的。我无法编辑它，因为编辑必须至少有 6 个字符，而这只是一个要编辑的字符。
如果您使用 OpenCV/C++ 并使用 cv::fitEllipse(..) 函数，您可能需要椭圆的边界矩形。在这里，我使用 Mike 的回答做了一个解决方案：
// tau = 2 * pi, see tau manifest
const double TAU = 2 * std::acos(-1);
cv::Rect calcEllipseBoundingBox(const cv::RotatedRect &anEllipse)
{
if (std::fmod(std::abs(anEllipse.angle), 90.0) <= 0.01) {
return anEllipse.boundingRect();
}
double phi = anEllipse.angle * TAU / 360;
double major = anEllipse.size.width / 2.0;
double minor = anEllipse.size.height / 2.0;
if (minor > major) {
std::swap(minor, major);
phi += TAU / 4;
}
double cosPhi = std::cos(phi), sinPhi = std::sin(phi);
double tanPhi = sinPhi / cosPhi;
double tx = std::atan(-minor * tanPhi / major);
cv::Vec2d eqx{ major * cosPhi, - minor * sinPhi };
double x1 = eqx.dot({ std::cos(tx), std::sin(tx) });
double x2 = eqx.dot({ std::cos(tx + TAU / 2), std::sin(tx + TAU / 2) });
double ty = std::atan(minor / (major * tanPhi));
cv::Vec2d eqy{ major * sinPhi, minor * cosPhi };
double y1 = eqy.dot({ std::cos(ty), std::sin(ty) });
double y2 = eqy.dot({ std::cos(ty + TAU / 2), std::sin(ty + TAU / 2) });
cv::Rect_<float> bb{
cv::Point2f(std::min(x1, x2), std::min(y1, y2)),
cv::Point2f(std::max(x1, x2), std::max(y1, y2))
};
return bb + anEllipse.center;
}
【讨论】：
布赖恩·约翰·尼尔森。 我已将您的代码转录为 c# - ellipseAngle 现在以度为单位：
private static RectangleF EllipseBoundingBox(int ellipseCenterX, int ellipseCenterY, int ellipseRadiusX, int ellipseRadiusY, double ellipseAngle)
{
double angle = ellipseAngle * Math.PI / 180;
double a = ellipseRadiusX * Math.Cos(angle);
double b = ellipseRadiusY * Math.Sin(angle);
double c = ellipseRadiusX * Math.Sin(angle);
double d = ellipseRadiusY * Math.Cos(angle);
double width = Math.Sqrt(Math.Pow(a, 2) + Math.Pow(b, 2)) * 2;
double height = Math.Sqrt(Math.Pow(c, 2) + Math.Pow(d, 2)) * 2;
var x= ellipseCenterX - width * 0.5;
var y= ellipseCenterY + height * 0.5;
return new Rectangle((int)x, (int)y, (int)width, (int)height);
}
【讨论】：
ellipseCenterY - height * 0.5（减号，而不是加号）。否则工作完美。
这是我的函数，用于找到具有任意方向的椭圆的紧密拟合矩形
我有opencv rect和实现点：
cg - 椭圆的中心
大小 - 椭圆的长轴、短轴
角度 - 椭圆的方向
cv::Rect ellipse_bounding_box(const cv::Point2f &cg, const cv::Size2f &size, const float angle) {
float a = size.width / 2;
float b = size.height / 2;
cv::Point pts[4];
float phi = angle * (CV_PI / 180);
float tan_angle = tan(phi);
float t = atan((-b*tan_angle) / a);
float x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
float y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[0] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1 / tan(phi))) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[1] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
phi += CV_PI;
tan_angle = tan(phi);
t = atan((-b*tan_angle) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[2] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
t = atan((b*(1 / tan(phi))) / a);
x = cg.x + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi);
y = cg.y + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi);
pts[3] = cv::Point(cvRound(x), cvRound(y));
long left = 0xfffffff, top = 0xfffffff, right = 0, bottom = 0;
for (int i = 0; i < 4; i++) {
left = left < pts[i].x ? left : pts[i].x;
top = top < pts[i].y ? top : pts[i].y;
right = right > pts[i].x ? right : pts[i].x;
bottom = bottom > pts[i].y ? bottom : pts[i].y;
}
cv::Rect fit_rect(left, top, (right - left) + 1, (bottom - top) + 1);
return fit_rect;
}
【讨论】：
如果椭圆由其焦点和偏心度给出，这是该情况的公式（对于由轴长度、中心和角度给出的情况，请参见例如 user1789690 的答案） .
即如果焦点是(x0, y0)和(x1, y1)，偏心率是e，那么
bbox_halfwidth = sqrt(k2*dx2 + (k2-1)*dy2)/2
bbox_halfheight = sqrt((k2-1)*dx2 + k2*dy2)/2
在哪里
dx = x1-x0
dy = y1-y0
dx2 = dx*dx
dy2 = dy*dy
k2 = 1.0/(e*e)
我从 user1789690 和 Johan Nilsson 的答案中推导出公式。
【讨论】：
此代码基于上面贡献的代码 user1789690，但在 Delphi 中实现。我已经对此进行了测试，据我所知，它运行良好。我花了一整天的时间寻找一个算法或一些代码，测试了一些不起作用的，我很高兴终于找到了上面的代码。我希望有人觉得这很有用。此代码将计算旋转椭圆的边界框。边界框是轴对齐的，不随椭圆旋转。半径是旋转之前的椭圆。
type
TSingleRect = record
X: Single;
Y: Single;
Width: Single;
Height: Single;
end;
function GetBoundingBoxForRotatedEllipse(EllipseCenterX, EllipseCenterY, EllipseRadiusX, EllipseRadiusY, EllipseAngle: Single): TSingleRect;
var
a: Single;
b: Single;
c: Single;
d: Single;
begin
a := EllipseRadiusX * Cos(EllipseAngle);
b := EllipseRadiusY * Sin(EllipseAngle);
c := EllipseRadiusX * Sin(EllipseAngle);
d := EllipseRadiusY * Cos(EllipseAngle);
Result.Width := Hypot(a, b) * 2;
Result.Height := Hypot(c, d) * 2;
Result.X := EllipseCenterX - Result.Width * 0.5;
Result.Y := EllipseCenterY - Result.Height * 0.5;
end;
【讨论】：
您可以尝试对以任意角度旋转的椭圆使用参数化方程：
x = h + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi) [1]
y = k + b*sin(t)*cos(phi) + a*cos(t)*sin(phi) [2]
...其中椭圆的中心为 (h,k) 长半轴 a 和短半轴 b，并旋转角度 phi。
然后您可以区分并求解梯度 = 0：
0 = dx/dt = -a*sin(t)*cos(phi) - b*cos(t)*sin(phi)
=>
tan(t) = -b*tan(phi)/a [3]
这应该为您提供许多 t 解决方案（您对其中两个感兴趣），将其插入 [1] 以获得您的最大值和最小值 x。
重复 [2]：
0 = dy/dt = b*cos(t)*cos(phi) - a*sin(t)*sin(phi)
=>
tan(t) = b*cot(phi)/a [4]
让我们尝试一个例子：
考虑在 (0,0) 处的椭圆，a=2，b=1，旋转 PI/4：
[1] =>
x = 2*cos(t)*cos(PI/4) - sin(t)*sin(PI/4)
[3] =>
tan(t) = -tan(PI/4)/2 = -1/2
=>
t = -0.4636 + n*PI
我们对 t = -0.4636 和 t = -3.6052 感兴趣
所以我们得到：
x = 2*cos(-0.4636)*cos(PI/4) - sin(-0.4636)*sin(PI/4) = 1.5811
和
x = 2*cos(-3.6052)*cos(PI/4) - sin(-3.6052)*sin(PI/4) = -1.5811
【讨论】：
t 的任意 2 个连续值，我们确保将 t 的这些值插入等式中得到两个唯一答案。您可以通过尝试t 的其他值来确认这一点。
我在http://www.iquilezles.org/www/articles/ellipses/ellipses.htm 找到了一个简单的公式（并忽略了 z 轴）。
我大致是这样实现的：
num ux = ellipse.r1 * cos(ellipse.phi);
num uy = ellipse.r1 * sin(ellipse.phi);
num vx = ellipse.r2 * cos(ellipse.phi+PI/2);
num vy = ellipse.r2 * sin(ellipse.phi+PI/2);
num bbox_halfwidth = sqrt(ux*ux + vx*vx);
num bbox_halfheight = sqrt(uy*uy + vy*vy);
Point bbox_ul_corner = new Point(ellipse.center.x - bbox_halfwidth,
ellipse.center.y - bbox_halfheight);
Point bbox_br_corner = new Point(ellipse.center.x + bbox_halfwidth,
ellipse.center.y + bbox_halfheight);
【讨论】：
我认为最有用的公式是这个。从原点角度 phi 旋转的省略号有如下等式：
其中 (h,k) 是中心，a 和 b 是长轴和短轴的大小，t 从 -pi 到 pi 变化。
据此，您应该能够推导出哪个 t dx/dt 或 dy/dt 变为 0。
【讨论】：