导出透视投影平面

Question

给定一个透视投影矩阵和投影中心，如何推导出投影平面？ 例如，让我们假设透视投影矩阵是一个 4x4 齐次矩阵：

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0

和投影的中心 [0, 0, 0]。从这些数据中可以清楚地看出每个点是如何投影到投影平面中的。但是如何使用这些数据来找到投影平面的精确方程/表示？

Answer 1

与“投影中心”（即相机在 3D 场景中的有效位置）不同，在图像投影到的概念平面的意义上，不需要具体的“投影平面”。

相反，投影矩阵确定了到“剪辑空间”的转换，该转换确定了视口边界和深度映射，x 和 y 坐标从中进一步缩放和偏移以获得目标像素位置。然而，这些都不能转化为场景中的实际平面，它以某种方式对应于物理相机的焦平面。

您可以从相机矩阵中导出相关平面：

• w=0 平面，即投影矩阵的第四行。该平面通过投影中心，将相机前面的点与后面的点分开； w=0 平面上的任何点都不可见。在您的示例中，此平面为0 2 0 0，即 X-Z 坐标平面。

• z=0 平面，它是投影矩阵的第三行。结合w=0平面，它决定了深度映射函数和近/远裁剪平面。在您的示例中，此平面为0 0 1 0，即 X-Y 坐标平面。

相机矩阵的其余行也代表平面：第一行和第二行分别是x=0 和y=0 平面。从某种意义上说，它们不像w=0 平面那样从根本上具体；传统上，它们将剪辑空间（和视锥）分成象限。它们通过与w=0 平面坐标求和和差来确定视锥体的水平和垂直边界平面。

“投影中心”是x=0、y=0 和w=0 平面（即投影矩阵的第一、第二和第四行）的交点。我应该注意，这表明您的示例是一个非常规配置：“投影中心”没有明确定义，并且您的所有点都将使用剪辑空间坐标进行映射，例如 y/w = 1/2，通常是一条水平线屏幕下方的四分之一。另请注意，通常情况下，z=0 平面应平行于 w=0 平面，仅在无穷远处相交（而不是沿 X 轴，如您的示例中所示）。

近和远裁剪平面是根据图形系统的裁剪空间约定从z=0 和w=0 平面派生而来的：

• OpenGL 的深度裁剪是z/w = [near=-1, far=+1]
  • 其近裁剪平面是上述w=0 和z=0 平面的总和（在您的示例中为0 2 1 0）
  • 其远剪辑平面是它们的区别（示例中为0 2 -1 0）
• DirectX 的深度裁剪是z/w = [near=0, far=-1]
  • 它的近裁剪平面是z=0 平面（在您的示例中为0 0 1 0）
  • 其远裁剪平面是两者的总和（与 OpenGL 近裁剪平面相同，在您的示例中为 0 2 1 0）