C表达式中模算术和按位与之间的联系

Question

我遇到了一个 C sn-p，它使用按位逻辑执行漂亮的模算术运算：

int a,b,c; 
c = (a + b - 1) & (- b) +b; 

c 的值是 b 大于 a+b 的最小倍数（根据 John Bollinger 的回答进行了编辑）。我试图向自己解释这是如何工作的（我对模算术和 & 运算如何相关的理解很模糊），但缺乏洞察力。另一方面看起来我可以把它表达为

c = (a+b) - ((a+b)%b) + (((a+b)%b)?b:0)

这个表达式很容易理解。此外，模块化的外观和？操作表明各个部分可以表示为按位逻辑，并且以某种方式简化为顶部的表达式。但是怎么做？如果有人想试一试，我会把它留作练习（这不是家庭作业）。实现不必在 C 中，如果有在线参考解释这一点，欢迎您提供它，但不是完整的答案。我希望看到从底部到顶部的表达式以清晰的步骤过渡...

评论 This 链接建议当 b 是 2 的幂时这可能适用。 这个other 链接解释了按位 & 不会分布在加法上。

假设在表达式...&(-b) 中，(-b) 可以替换为(nums(int)-b)，其中nums(int) 是表示中可能的整数总数。

随意指定您最喜欢的编译器/C 版本。

示例代码：

int a,b,c;
int alow, ahigh; 

b = 16;
alow = 8; 
ahigh = 20; 
printf("a+b      c    lcm(a+b,b) + ?b  \n");    
for (a=alow;a<ahigh;a++) {
    c = ((a+b-1) & (-b)) +b;
    printf("%5d   %5d    %5d   \n",a+b, c, (a+b) - ((a+b)%b) + (((a+b)%b)?b:0) );
}

样本输出：

  a+b      c    lcm(a+b,b) + ?b
   24      32       32
   25      32       32
   26      32       32
   27      32       32
   28      32       32
   29      32       32
   30      32       32
   31      32       32
   32      32       32
   33      48       48
   34      48       48
   35      48       48

Answer 1

我不会相信你从中得到的任何结果。根据C Standard, section 6.5：

一些运算符（一元运算符~，和二元运算符>， &、^ 和 |，统称为位运算符）是必需的 具有整数类型的操作数。 这些运算符产生值 依赖于整数的内部表示，并且有 签名类型的实现定义和未定义方面。

Answer 2

在使用二进制补码表示负数的机器上，如果 b 是 2 的幂，那么在 -b 的表示中，最低有效位 log2(b) 的值为零，所有其他位都有值一。解释为无符号值，该位模式中的最低有效二进制数字具有位置值b。 （例如：int8_t 值 -4 在这种表示中具有位模式 11111100。）这是当今使用的最常见的整数表示样式，并且在重要的地方，此答案的其余部分将假设负整数表示方式。

这样的值可以用作位掩码，以从非负整数中屏蔽位值小于b 的二进制数字。假设我们假设二进制表示和b 2 的幂，屏蔽具有较低位值的位必然会导致值可被b 整除。

现在假设a 是非负数且b 是2 的幂。a 的值可以表示为b 的非负数倍数加上余数：

a == n * b + a % b

现在考虑表达式(a + b - 1)，并假设计算它的值不会导致整数溢出。有两种情况：

案例一：a % b == 0

在这种情况下，a == n * b，所以

(a + b - 1) == n * b + b - 1

。如果我们屏蔽掉位值小于b 的位，我们得到

(a + b - 1) & (-b) == n * b == a

这肯定是大于或等于a 的b 的最小倍数。

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案例2：a % b != 0

在这种情况下，

(a + b - 1) == (n + 1) * b + a % b - 1

。如果我们屏蔽掉位值小于b 的位，我们得到

(a + b - 1) & (-b) == (n + 1) * b

由于a 严格介于n * b 和(n + 1) * b 之间，这又是b 大于或等于a 的最小倍数。

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因此，您的原始断言

[(a + b - 1) & (-b)] 的值是大于 a+b 且能被 b 整除的下一个最大数

是我假设的数字表示的不准确表征（包括 b 不是 2 的幂，尽管我没有证明这一点）。相反，在上述假设下，表达式计算大于或等于a 的b 的最小倍数。

您修改后的断言直接来自上面，但是，通过在表达式的两侧添加b。如果(a + b - 1) & (-b) 是至少与a 一样大的b 的最小倍数，则可以得出(a + b - 1) & (-b) + b 是至少与a + b 一样大的b 的最小倍数。

不依赖于数字表示（但仍对溢出敏感）的等价表达式将是

((a + b - 1) / b) * b + b

((a + b) / b) * b + b

((a / b) + 1) * b + ((a % b) ? b : 0)

这些映射中的最后一个直接映射到上面介绍的两个案例，稍加注意，它可以重新排列为您在问题中提出的第二个表达式。