有向图约束最大生成子树的逼近算法

Question

给定一个有向图，其中每个向量的成本都是非负的，每个顶点的利润都是非负的，你如何找到图中利润最大的生成子树？我想将成本限制在给定的预算范围内。我正在寻找多项式时间复杂度问题的近似算法，以及理论上的近似因子。

Answer 1

生成子树

我假设您的意思是arborescence。修复一个根 u（或者只是尝试所有顶点以获得额外的 |V| 因子）。对于每条弧 a，令 x_a 为 0-1 指示变量，用于指示树状结构中的成员身份。对于每个顶点 v，让 y_v 相同。明显的整数程序是

最大化 ∑_v 利润(v) y_v
∑_a 成本(a) x_a ≤ 预算
∀v≠u。 ∀S⊆V, u∈S, v∉S。 y_v ≤ ∑_{a∈S×(V∖S)}x_a
∀一个。 x_a ∈ {0, 1}
∀v。 y_v ∈ {0, 1}

不幸的是，完整性差距是无限的。在其他几个公式遇到同样的问题之后，我开始相当强烈地怀疑没有具有“合理”近似比的近似算法。这个问题将批量购买机制与预算最大覆盖问题相结合，使得额外覆盖的边际成本变得非常便宜，这似乎应该导致那种排除近似值的阈值行为.一种出路可能是采用双准则近似（即，为近似算法提供更大的预算）。