命题逻辑形式证明

Question

我正在尝试正式证明以下等式，作为逻辑考试之前的练习。但是，我在制定这些步骤时遇到了一些困难。这是我正在使用的规则；

A ∧ A ≡ A, A ∨ A ≡ A idempotence
A ∧ B ≡ B ∧ A, A ∨ B ≡ B ∨ A commutativity
A ∧ (B ∧ C ) ≡ (A ∧ B) ∧ C , A ∨ (B ∨ C ) ≡ (A ∨ B) ∨ C associativity
A ∧ (A ∨ B) ≡ A, A ∨ (A ∧ B) ≡ A absorption
A ∧ (B ∨ C ) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C ) distributivity
A ∨ (B ∧ C ) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C ) distributivity
A ∧ (¬A) ≡ false, A ∨ (¬A) ≡ true negation
¬(¬A) ≡ A double negation
¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B), ¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B) de Morgan
A ⇒ B ≡ (¬A) ∨ B implication
A ⇔ B ≡ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A) bi-implication

这就是等式；

 (p⇒r) ∧ (q⇒r) ≣ (p∨q) ⇒ r

我认为我使用了隐含、可交换性和分布性，但我被困在了这一点上。感谢任何帮助！

Answer 1

这是一个正式的证明

(p∨q) ⇒ r ≣ ¬(p∨q) ∨ r          implication
          ≣ (¬p∧¬q) ∨ r         de Morgan
          ≣ (¬p∨r) ∧ (¬q∨r)     distributivity and commutativity
          ≣ (p⇒r) ∧ (q⇒r)       implication

但是请注意，没有人会这样想，实际练习应该包括解释为什么两个表达式是等价的。

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解释

1. 鉴于p ⇒ (p∨q)，从(p∨q) ⇒ r，我们得到p ⇒ (p∨q) ⇒ r，因此得到p ⇒ r。由于相同的参数对q 有效，我们也得到q ⇒ r。所以，(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)。

2. 相反，如果(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) 则r 必须为真，只要p 和q 中的任何一个恰好为真。换句话说，只要(p∨q) 为真。因此(p∨q) ⇒ r。