丑数大 O 算法（蛮力法）答案

【问题标题】：Big O of Ugly Numbers Algorithm (Brute force method)丑数大 O 算法（蛮力法）
【发布时间】：2023-06-13 16:02:01
【问题描述】：

你如何找到丑数的蛮力（简单方法）解决方案的大 O。

我看到这部分代码：

    /* Function to check if a number is ugly or not */
int isUgly(int no) 
{ 
  no = maxDivide(no, 2); 
  no = maxDivide(no, 3); 
  no = maxDivide(no, 5); 

  return (no == 1)? 1 : 0; 
}

每个步骤都需要log_2(x) + log_3(x) + log_5(x) 步骤，其中x = no

所以这意味着运行时间是 (log_2(x) + log_3(x) + log_5(x))ⁿ 其中 x 是输出的结果。但是，算法的结果不能是大 O 符号的一部分，对吧？如果不能，这将减少到 cⁿ 对吗？ c > 结果。什么是正确的证明方法？

【问题讨论】：

标签： algorithm big-o proof

【解决方案1】：

丑数也称为正数。可以看到from the Wikipedia article，可知到m的正则数个数是

(ln(m*sqrt(30))^3 / (6*ln(2)*ln(3)*ln(5)) + O(ln(m))

换句话说，您的getNthUglyNo 将调用isUgly 以获取n-th 常规号码

~ 1/sqrt(30) * exp((n*6*ln(2)*ln(3)*ln(5))^(1/3))

次。

0 和M 之间的均匀随机整数x 被2^y 整除的概率是渐近的1/2^y，因此调用maxDivide(no, 2); 中的循环迭代的平均次数是O(1)，等效于maxDivide(no, 3); 和maxDivide(no, 5);。

因此你的算法是

Theta( exp((n*6*ln(2)*ln(3)*ln(5))^(1/3)) )

大约是

Theta( exp(1.9446 * n^(1/3)) )

另请注意，将n = 500 代入上述渐近迭代次数确实会给您921498，这与@sowrov 在他们的答案中找到的迭代次数 (937500) 非常接近。

【讨论】：

【解决方案2】：

isUgly 方法的复杂度是 O(log N)，其中 N 是输入。因为 maxDivide 的复杂度是 O(log N) 并且调用该函数固定次数（在本例中为 3 次）不会改变复杂度。

但是，算法的结果不能是大 O 表示法的一部分，对吧？

是的，在计算函数的复杂度时，函数的结果是无关紧要的。

getNthUglyNo 的时间复杂度未知或无限！对于 N=500，它运行 937500 次！

【讨论】：

isUgly 可以被调用超过 N 次，所以它不会是 O(N log N)。 N 只是“发现的丑陋数字”数量的计数器目标。 isUgly 在 counter == N 之前被调用了 i 次（可能是无限的）我认为你错过了在 getNthUglyNo 函数中调用 count++ 时的代码部分。 while (n > count) 循环的每次迭代都不会增加计数，因此 while 循环实际上运行了 N 次以上，因此 isUgly 被调用了 N 次以上。
啊！抱歉，我没有正确阅读该代码 - 这有点像无限循环！
getNthUglyNo 的复杂性肯定是有限的，因为它对所有输入都终止（忽略使用的整数的范围限制），因为显然有无限多的数字是丑陋的.
那么这个无穷大的大O是什么？ DDDD：