为什么 C++ 使用模数时输出负数？

Question

数学：

如果你有这样的等式：

x = 3 mod 7

x 可以是 ... -4、3、10、17、...，或更一般地说：

x = 3 + k * 7

其中 k 可以是任何整数。我不知道为数学定义了模运算，但因子环肯定是。

Python：

在 Python 中，当您将 % 与正数 m 一起使用时，您将始终得到非负值：

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

m = 7

for i in xrange(-8, 10 + 1):
    print(i % 7)

结果：

6    0    1    2    3    4    5    6    0    1    2    3    4    5    6    0    1    2    3

C++：

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){
    int m = 7;

    for(int i=-8; i <= 10; i++) {
        cout << (i % m) << endl;
    }

    return 0;
}

将输出：

-1    0    -6    -5    -4    -3    -2    -1    0    1    2    3    4    5    6    0    1    2    3    

ISO/IEC 14882:2003(E) - 5.6 乘法运算符：

二元 / 运算符产生商，二元 % 运算符 产生第一个表达式除以的余数 第二。如果 / 或 % 的第二个操作数为零，则行为是 不明确的;否则 (a/b)*b + a%b 等于 a。如果两个操作数都是 非负，则余数为非负；如果不是，的符号 余数是实现定义的 74).

和

74) 根据正在进行的 ISO C 修订工作， 整数除法的首选算法遵循定义的规则 ISO Fortran 标准 ISO/IEC 1539:1991，其中商为 总是向零舍入。

来源：ISO/IEC 14882:2003(E)

（我找不到ISO/IEC 1539:1991 的免费版本。有人知道从哪里得到它吗？）

操作好像是这样定义的：

问题：

这样定义有意义吗？

这个规范的论据是什么？创建此类标准的人是否有讨论它的地方？我在哪里可以了解他们决定这样做的原因？

大多数时候，当我使用模数时，我想访问数据结构的元素。在这种情况下，我必须确保 mod 返回一个非负值。因此，对于这种情况，最好 mod 总是返回一个非负值。 （另一种用法是Euclidean algorithm。由于您可以在使用此算法之前将两个数字都设为正数，因此模数的符号很重要。）

附加材料：

请参阅Wikipedia，了解模数在不同语言中的作用。

Answer 1

在 x86（和其他处理器架构）上，整数除法和取模由单个操作 idiv（div 用于无符号值）执行，该操作同时产生商和余数（对于字大小的参数，在AX 和 DX 分别）。这个用在C库函数divmod中，可以被编译器优化为单条指令！

整数除法遵循两个规则：

• 非整数商向零舍入；和
• 结果满足方程dividend = quotient*divisor + remainder。

因此，当一个负数除以一个正数时，商将为负数（或零）。

因此，这种行为可以看作是一系列本地决策的结果：

• 处理器指令集设计针对常见情况（除法）而不是不太常见情况（取模）进行了优化；
• 一致性（向零舍入，并遵守除法方程）优于数学正确性；
• C 更喜欢效率和简单（特别是考虑到将 C 视为“高级汇编程序”的趋势）；和
• C++ 更喜欢与 C 兼容。

Answer 2

过去，设计 x86 指令集的人认为将整数除法舍入为零而不是向下舍入是正确且好的。 （愿一千只骆驼的跳蚤在他母亲的胡须里筑巢。）为了保持某种数学正确性，读作“余数”的操作员 REM 必须做出相应的行为。请勿阅读：https://www.ibm.com/support/knowledgecenter/ssw_ibm_i_73/rzatk/REM.htm

我警告过你。后来有人做 C 规范决定它会符合编译器以正确的方式或 x86 方式来做。然后一个制定 C++ 规范的委员会决定以 C 的方式来做。后来，在这个问题发布后，一个 C++ 委员会决定以错误的方式进行标准化。现在我们被它困住了。许多程序员编写了以下函数或类似的东西。我可能已经做了至少十几次了。

 inline int mod(int a, int b) {int ret = a%b; return ret>=0? ret: ret+b; }

你的效率很高。

这些天来，我基本上使用以下内容，并加入了一些 type_traits 的东西。（感谢 Clearer 的评论让我想到了使用后来的 C++ 进行改进的想法。见下文。）

<strike>template<class T>
inline T mod(T a, T b) {
    assert(b > 0);
    T ret = a%b;
    return (ret>=0)?(ret):(ret+b);
}</strike>

template<>
inline unsigned mod(unsigned a, unsigned b) {
    assert(b > 0);
    return a % b;
}

真实的事实：我游说 Pascal 标准委员会以正确的方式做 mod，直到他们心软。令我恐惧的是，他们以错误的方式进行整数除法。所以他们甚至不匹配。

编辑：Clearer 给了我一个想法。我正在开发一个新的。

#include <type_traits>

template<class T1, class T2>
inline T1 mod(T1 a, T2 b) {
    assert(b > 0);
    T1 ret = a % b;
    if constexpr  ( std::is_unsigned_v<T1>)
    {
        return ret;
    } else {
        return (ret >= 0) ? (ret) : (ret + b);
    }
}

Answer 3

这个规范的论据是什么？

C++ 的设计目标之一是有效地映射到硬件。如果底层硬件以产生负余数的方式实现除法，那么这就是你在 C++ 中使用% 时会得到的结果。这就是它的全部内容。

创建此类标准的人是否有讨论它的地方？

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