检查上下文无关语法是否生成 DFA 拒绝的无限语言的算法

Question

我有一个 DFA A 和一个 CFG G，然后我必须检查 G 是否生成了 A 不接受（被 A 拒绝）的无限词，以及一个不错的复杂度时间。

我想用 CFG 构造一个图，如果它包含一个有向循环，那么就会产生一个无限的语言。顶点是变量，对于每个产品，我都会画一些边。输入都是被 DFA 拒绝的单词，当我找到一个循环时，我可以说 CFG 生成了被 DFA A 拒绝的无限语言。

我不知道如何在算法中转换它，或者如果我的建议不正确，我必须创建一个新的。

编辑：我可以将我的 cfg 转换为 CNF，然后转换为 DFA（使用 chomsky）。之后，我尝试找到一个循环。但是我转换后的 dfa 的状态可能比我的 dfa a 少...我需要如何在我的 cfg 中获取 DFA A 拒绝的单词。

Answer 1

给定 CFG G，构造 PDA B。给定 DFA A 和 PDA B，构造 PDA C 使得 C 接受 L(C) = L(B) \ L(A)，其中 \ 是集差。现在，L(C) 恰好是 PDA B 接受（因此由 CFG G 生成）但不被 DFA A 接受，即拒绝的词的语言。

现在，问题是 B 的语言是否是无限的。我们做得到。一种方法是将 PDA 转换回 CFG，然后将 CFG 放入 CNF - 删除不必要和无用的符号。然后，在非终结符号之间创建一个依赖树。如果任何剩余的（生产性）非终结符号依赖于自身，即存在循环，则该语言是无限的。否则，语言是有限的（如果没有生产性符号剩余，则为空）。