向量化帕累托前沿算法

Question

首先，这是我的设置：

• x 是一个 n x 1 向量，包含第一个成本函数的值。
• y 是另一个 n x 1 向量，包含第二个成本函数的值。
• a 是一个 m x 1 向量，其中包含要检查的 x 和 y 的索引，这用于有选择地从算法中排除值。除非需要，否则可以将其替换为 1:n。
• 可以肯定地假设(x,y) 的所有组合都是唯一的。

任务是找到值对的帕累托最优集合(x,y)，即所有不占优的对。如果存在另一对 (u,v) 使得 u <= x && v <= y 并且其中一个比较是严格的：u < x || v < y，则该对被称为主导。换句话说，如果另一对在一个值上更好而不在另一个值上更差，则一对被支配。

到目前为止，我的研究已经产生了三种有效的算法，不幸的是它们都依赖于循环。以下是它们的工作方式以及我用x、y 和a（长度为1e8）运行它们的时间：

1. 按升序对x 进行排序。将第一对添加到帕累托集。
2. 循环通过x。将每一对添加到帕累托集中，其中y 低于前一个帕累托对的y。

经过的时间是 80.204052 秒。

 

1. 找到min(x)。将该对添加到帕累托集。
2. 选择y 低于先前添加的对的y 的所有对。
3. 除非第 2 步导致空集，否则请转到第 1 步。

经过的时间是 2.993350 秒。

 

1. 循环遍历所有对 (x,y)。
2. 删除所有对 (u,v) 和 x >= u && y >= v。

经过的时间是 105.924814 秒。

现在我要做的是创建一个矢量化算法。它不必基于上述之一，但我无法找到任何其他工作算法。我能做的最好的就是：

ap = a(y < min(y(x == min(x))) | x < min(x(y == min(y))));

通常会找到所有帕累托最优对，但包括所有不被min(x) 或min(y) 支配的对，即使其中一个支配另一个。我说通常是因为如果只有一个全局最优对支配其他所有对，它就会完全失败。将< 替换为<= 可以解决第二个问题，但会发现更多的被支配对（那些只有一个更差值的对）。我也通过与上面相同的计时器运行了这个：

经过的时间是 0.800385 秒。

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这是我用来检查算法的测试脚本，请随意使用

for i=1:25
    x = randi(8,10,1);
    y = randi(8,10,1);
    a = 1:10;
    ap = a(y < min(y(x == min(x))) | x < min(x(y == min(y)))); %// algorithm here
    figure(1);
    subplot(5,5,i);
    plot(a,x,'b',a,y,'r',ap,x(ap),'b.',ap,y(ap),'r.','MarkerSize',20);
    axis([0,11,0,9]);
    set(gca,'XGrid','on','YGrid','on','XTick',1:10,'YTick',0:8);
    figure(2);
    subplot(5,5,i);
    plot(x,y,'b.',x(ap),y(ap),'ro','MarkerSize',10);
    axis([0,9,0,9]);
end

Answer 1

所以，如果速度是主要特征（在正确性之后），那么我发现更快循环版本的递归版本要快 30% 以上：

>> testPareto(1e8);
Recursive:
Elapsed time is 4.507267 seconds.
Loop:
Elapsed time is 6.136856 seconds.
Vector:
Elapsed time is 7.246806 seconds.

同样，时间取决于机器，甚至可能取决于 matlab 的版本。代码如下：

function testPareto(dim)

x = rand(dim, 1);
y = rand(dim, 1);

tic;
rR = paretoRecursive(x, y);
disp('Recursive:');
toc;

tic;
rL = paretoLoop(x, y);
disp('Loop:');
toc;

tic;
rV = paretoVector(x, y);
disp('Vector:');
toc;

end

function result = paretoLoop(x, y)
    result = zeros(numel(x), 2);
    off = 1;
    loop = true;
    while loop
        xmin = min(x);
        ymin = min(y(x == xmin));
        yfilter = y < ymin;
        result(off, :) = [xmin ymin];
        off = off + 1;
        if any(yfilter)
            x = x(yfilter);
            y = y(yfilter);
        else
            loop = false;
            result(off:end, :) = [];
        end
    end
end

function result = paretoRecursive(x, y)
    xmin = min(x);
    ymin = min(y(x == xmin));
    yfilter = y < ymin;
    if any(yfilter)
        result = [xmin ymin; paretoRecursive(x(yfilter), y(yfilter))];
    else
        result = [xmin ymin];
    end
end

function result = paretoVector(x, y)
    xmin = min(x);
    xfilter = x == xmin;
    ymin = min(y(xfilter));
    yfilter = y < ymin;
    if any(yfilter)
        [x, ind] = sort(x(yfilter));
        y = y(yfilter);
        y = y(ind);
        yfilter = [true; y(2:end) < cummin(y(1:end-1))];
        result = [xmin x(yfilter)'; ymin y(yfilter)']';
    else
        result = [xmin ymin];
    end
end