算法 - 分组/排序列表以最大化最小平均分组值

Question

我正在寻求一些帮助，以便在 Python 中编写一个完成以下任务的算法：

给定一个实数列表，将该列表排序/分组为 n 个较小的列表，以使平均最小组值最大化。

例如，考虑将下面的列表分为两个列表 - A 和 B，每个列表包含两个元素。

lis = [1,1,2,2]

在下面的第一个场景中，每个列表的最小值为 1，因此平均最小值为 1。

# Scenario 1
A = [1,2]
B = [1,2]

# Scenario 2
A = [1,1]
B = [2,2]

在第二种情况下，A 的最小值为 1，B 的最小值为 2，因此平均最小值为 1.5。这种安排是最优的。

很明显，最好将“相似”的值分组。我可以用Jenks natural breaks optimization（或一维k-means聚类）来做到这一点。但是，我不确定我的目标和 Jenks 优化的目标是否（数学上）等价。

任何帮助或意见将不胜感激。

编辑：较小的列表必须全部具有相同的大小（假设给定的列表总是分成较小的组，没有余数）。

Answer 1

解决此问题的最佳方法是将数字从小到大排序，然后将排序后的列表拆分为n 组，而无需进一步重新排列。任何改进此分组的尝试都会降低其中一组的最小值，从而降低最小值的平均值。

一个例子可能有助于解释原因。

给定一个包含 12 个数字的列表：

[94, 82, 61, 2, 96, 34, 87, 13, 82, 91, 61, 39]

排序后的列表是：

[2, 13, 34, 39, 61, 61, 82, 82, 87, 91, 94, 96]

如果我们想要n=3 组，那么这些组是：

[[2, 13, 34, 39], [61, 61, 82, 82], [87, 91, 94, 96]]

所以最小值的平均值是avg(2,61,87)=50。

你能做得比这更好吗？答案是否定的。

将任意数从一组 A 移动到另一组 B 将减少 A 的最小值，而不会相应地增加 B 的最小值。

例如，您可能认为将 61 转移到不同的组会有所帮助。

一种可能的重新排列是：

[[2, 13, 34, 61], [39, 61, 82, 82], [87, 91, 94, 96]]

此重排的值为avg(2,39,87)=42。

另一种可能的重新排列是：

[[2, 13, 34, 39], [87, 61, 82, 82], [61, 91, 94, 96]]

此重排的值为avg(2,61,61)=41。

所以你看，我们不能通过移动 61 来做得更好。同样，我们不能通过移动任何数字来做得更好。

Answer 2

似乎最简单的方法是对列表进行初始排序，以便始终将最低值分组在一起，例如：

# Define the list of values to group
values = [1, 2, 3, 10, 11, 12]

# Sort the values
values.sort()

# Split the values down into an even number of `n` groups
no_groups = 3
group_size = len(values) / no_groups
groups = []

for i in range(0, no_groups):
    groups.append(values[0:(group_size)])
    values = values[group_size:]

# Calculate the average minimum value of the groups
average_min = float(sum([g[0] for g in groups])) / no_groups

print(average_min)

但是鉴于您提到 Jenks 和 K-means 聚类，我担心这太简单了，而且我遗漏了一些东西？