二次探测：在现实生活中的哪种情况下会是 O(n) 复杂度

Question

我正在学习数据结构和算法。我被教导几乎所有 hashmap 操作几乎都是 O(1)。这是一种执行二次探测分辨率的方法，它返回所需对象的位置。

private int findPos( Object x )
{
    int offset = 1;
    int currentPos = myhash( x ); //Using quadratic probing 
    
    while( array[ currentPos ] != null &&
            !array[ currentPos ].element.equals( x ) )
    {
        currentPos += offset;  // Compute ith probe
        offset += 2;
        if( currentPos >= array.length )
            currentPos -= array.length;
    }
    
    return currentPos;
}

我正在做作业，我必须找出这种方法的复杂性。这是场景：

该数组表示一个英语词典，其中每个元素都是其中的一个单词。这个作业的答案是 O(1) 复杂度。但我想知道为什么不是 O(n) 复杂度，因为里面有很多元素（大约 171,476 个字）会导致很多冲突。换句话说，我怎么能确定，在这种情况下，这个方法总是 O(1) ？

编辑 我的作业问题是：在最坏的情况场景中，这种方法的复杂性是多少。还是 O(1) 吗？

Answer 1

非最坏情况.... 它是 O(1) 而不是 O(n)，因为搜索时间不取决于数组的大小。是的，你会得到更多元素的更多冲突，但平均每次搜索不会有更多的冲突，因为数组的大小会随着 n 的增加而增加。

编辑：由于问题规定数据是来自英语的单词，因此 n 的最大可能大小有一个限制，这意味着您实际上可以保证哈希函数不会发生冲突，这将使答案 O(1)即使在最坏的情况下。

Answer 2

在最坏的情况下，这种方法的复杂性是多少。即使在最坏的情况下，它仍然是 O(1) 吗？

要回答您的问题，您确实必须定义最坏情况的含义。哈希表的实现很大程度上取决于两个因素：您打算存储在哈希表中的数据的（概率）分布，以及您定义的哈希函数。了解这两个因素，您可以进行平均案例分析。如果没有这两条信息，您可以假设最坏的情况，例如：

• 您将始终获得相同的值来存储数字“1”
• 您的哈希函数是 f(x) = x

在这种情况下，如果您对存储桶使用链表，那么最坏的情况确实是 O(n)。

但是，如果您有更多信息，例如您的数据遵循均匀分布并且您使用合理的散列函数，则可以在 平均 的情况下显示大多数操作应该是 O(1) .在上一句中，描述符“平均”是通过对数据遵循的概率分布进行平均来精确定义的。

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我不清楚您需要多详细的分析，但通常使用开放寻址（不管是哪个）平均运行时间的分析如下。

设a = n / N 是哈希表的负载因子，其中n 是存储的元素数，N 是桶数。假设没有聚类问题（由于数据或散列函数）并且所有探测的可能性相同（证明二次探测的正确性是分开的），那么您可以断言

P(probe hits occupied bucket) = a
P(probe hits unoccupied bucket) = 1-a
P(probe hits unoccupied bucket in 2 steps) = a (1-a)
P(probe hits unoccupied bucket in k steps) = a^{k-1} (1-a)

因此探测的平均运行时间为

E(number of steps in probe) = \sum {for k = 0 to m} k a^{k-1}(1-a)
                            <=\sum {for k = 0 to infty} k a^{k-1}(1-a)
                            = (1-a) / (1-a)^2
                            = 1 / (1 - a)

其中无限和由arithmetico-geometric series 给出，m 是探测步骤数的某个上限（取决于探测技术，通常需要单独证明探测技术以有限的方式终止#步骤m。）

如果我们保持一个合理的负载系数a，比如a = n / N = .5，那么

E(number of steps in probe) <= 1 / (1-.5) = 2

因此E(number of steps in probe) 是 O(1)。

整个分析的关键在于能够识别出无限和有一个很好的收敛形式。

回顾一下，我上面给出的证明在一般情况下是成立的，但是你正在使用的探测技术需要以下条件（可能需要单独证明）：

• 探测技术根据命中未占用/已占用存储桶的负载因子产生统一概率（即P(probe hits occuppied bucket) = a）
• 探测技术以有限的步骤结束

根据您的分析必须有多详细，您可能必须证明二次探测的这两个属性才能完成证明。 （请注意，仅当负载因子为