如何制作一个仅使用加法和仅使用 2 个变量进行除法的递归函数

Question

我最近得到了一项学校作业，要创建一个递归函数，该函数只使用加法（不允许减法）进行除法，并且只有 2 个变量。

编辑：基于 cmets 的几点说明：

• n1 除以 n2。 (n1:n2)

• 答案应该是一个整数 (int)，您可以将 n2 放入 n1 中的次数（8:3 应该得到 2，8:4 也应该得到 2）。

• 您可以假设输入只是正整数。

按照cmets的要求，我会尽量把作业翻译成英文，尽量准确：

编写一个名为“PDiv”的递归函数，它获取两个正整数并返回它们的整数商，仅使用加法运算。

我尝试使用 2 个递归函数来实现，如下所示：（赋值只需要一个函数，因此不是正确答案）

public static int PDiv(int n1, int n2)
{
    if (n1 < n2)
        return 0;
    else if (n1 == n2)
        return 1;
    else
        return PDiv(n1, n2 + n2, n2) + 1;
}

public static int PDiv(int n1, int n2, int con)
{
    if (n1 < n2)
        return 0;
    else if (n1 == n2)
        return 1;
    else
        return PDiv(n1, n2 + n2, con) + 1;
}

除此之外，我还尝试了一个确实有效的方法，但它假装很聪明，而不是真正做加法，而是加上减号（基本上是减法）。示例：

public static int PDiv(int n1, int n2)
{
    if (n1 < n2)
        return 0;
    else if (n1 == n2)
        return 1;
    else
        return PDiv(n1 + -n2, n2) + 1;
}

如果有人知道我如何让它发挥作用，我很想听听！提前致谢！

Answer 1

你也可以把它写成一种方法：

public int recursive_div(int a, int b)
    {
        if (a < b)
        {
            return 0;
        }
        else if (b == 0)
        {
            return -1;
        }
        else if (a == b)
        {
            return 1;
        }
        else
        {
            return  recursive_div(a-b,b) +1 ;
        }
    }

返回 -1 只是一个被 0 错误潜水的捕获值。

Answer 2

下面是我们如何通过纯粹的加法、比较和赋值操作以及两个参数来完成它，只要我们允许一个元组返回值。 C#代码：

using System;

public class Test
{
    // Returns (floor(n / m) * m, floor(n / m))
    public static (int, int) f(int n, int m){
        if (n < m)
            return (0, 0);
        if (n == m)
            return (n, 1);
  
        (int _n, int k) = f(n, m + m);

        if (_n + m > n)
            return (_n, k + k);
    
        return (_n + m, k + k + 1);
    }

    public static void Main()
    {
        for (int n=1; n<200; n++){
            for (int m=1; m<n; m++){
                (int _n, int nm) = f(n, m);
                if (nm != n / m)
                    Console.WriteLine($"Mismatch: { n }, { m }") ;
            }
        }

        Console.WriteLine("Test done.");
    }
}

Answer 3

这是我们可以实现此目的的一种方法，前提是我们可以使用模运算符和局部变量。

这个想法是，如果我们知道PDiv(n, m + m)，我们只需要知道我们是否还能再添加一个m。

C#代码：

using System;

public class Test
{
    public static int PDiv(int n, int m)
    {
        if (n < m)
            return 0;
        if (n == m)
            return 1;
  
        int k = PDiv(n, m + m);

        return k + k + (n % (m + m) < m ? 0 : 1);
    }

    public static void Main()
    {
        Console.WriteLine(PDiv(21, 3));
    }
}

Answer 4

d = a/b 
d * b + r = a

第二行给出了如何以递归方式解决这个问题的想法。 忽略余数 (r)，将 b 相加直到 d*b > a。有了这个，剩下要做的就是跟踪我们必须将 b 加在一起的次数，直到它大于 a。

int div_loop(int dividend, int divisor, int x, int n) {
  if (x > dividend)
     return (n-1);
  return div_loop(dividend, divisor, (x + divisor), (n+1));
}
int div(int dividend, int divisor) {
  return div_loop(dividend, divisor, 0, 0);
}

这应该符合要求，因为要求不禁止编写辅助函数。并且主函数只有两个参数，而且是递归解，只使用加法。

如果 C# 有嵌套函数（不确定现在是否有，但我上次用 C# 编程时没有），div_loop() 可以嵌套在 div() 函数中，内部函数可以被视为实现详细信息（并且少了 2 个参数）。例如，在 F# 中，这可能如下所示：

let div dividend divisor =
  let rec operate x n =
    if x > dividend
    then (n - 1)
    else operate (x + divisor) (n + 1)
  operate 0 0

从Microsoft c# documentation 看来，C# 现在支持嵌套函数，名称为“本地函数”。

因此，您可以满足所有要求：

int pdiv(int dividend, int divisor) {
  return div_loop(0, 0);
  int div_loop(int x, int n) {
    if (x > dividend) return (n-1);
    return div_loop(x+divisor, n + 1);
  }
}
 

Answer 5

您唯一的问题是，当您使用 n2 = n2 + con 时，您仍然在第二种方法中比较 n1 和 n2，而 con 仍然是您的凝视 n2，它应该可以工作。

    private int div(int n1, int n2)
    {
        if (n1 == n2) return 1;
        if (n1 < n2) return 0;
        return div(n1, n2, n2+n2) + 1;  
    }
    private int div(int n1, int n2, int runner)
    {
        if (n1 == runner) return 1;
        if (n1 < runner) return 0;
        return div(n1, n2, runner+n2) + 1;
    }