Dijkstra 算法 - 为什么每次都提取优先级最小的顶点？

Question

我正在学习 Dijkstra 的算法来寻找最短路径。我注意到有一个优先级队列可以帮助提取顶点集中优先级最低的顶点。如果我从顶点集中选择一个顶点而不考虑优先级，而不是优先级最低的那个，算法是否仍然有效？ 如果是，时间复杂度如何？

来自维基百科的原始 Dijkstra 算法是这样的：

function Dijkstra(Graph, source):
    dist[source] ← 0                                

    create vertex set Q

    for each vertex v in Graph:           
        if v ≠ source
            dist[v] ← INFINITY                      
            prev[v] ← UNDEFINED                     

    Q.add_with_priority(v, dist[v])


    while Q is not empty:                          
        u ← Q.extract_min()                        
        for each neighbor v of u:                  
            alt ← dist[u] + length(u, v) 
            if alt < dist[v]
                dist[v] ← alt
                prev[v] ← u
                Q.decrease_priority(v, alt)

    return dist[], prev[]

修改后选择顶点不考虑优先级（请注意松弛后有一个“添加”）：

function DijkstraVariant(Graph, source):
    dist[source] ← 0                                

    create vertex set Q

    for each vertex v in Graph:           
        if v ≠ source
            dist[v] ← INFINITY                      
            prev[v] ← UNDEFINED                     

    Q.just_add(v)                  // Don't care about the priority


    while Q is not empty:                          
        u ← Q.random_pick()         // Don't care about the priority        
        for each neighbor v of u:                 
            alt ← dist[u] + length(u, v) 
            if alt < dist[v]
                dist[v] ← alt
                prev[v] ← u
                Q.just_add(v)  // Don't care about the priority

    return dist[], prev[]

Answer 1

不，它不会起作用。它会产生一条路径，但不再保证它是最短的。

优先级需要考虑非均匀权重，对于普通的 FIFO 队列，它仅在所有边权重相等时才有效。它变成了一个简单的广泛的首次搜索。

使用随机选择，而不是优先级，算法进一步恶化，下降到深度优先搜索的水平。这也消除了 BFS 提供的所有保证，例如即使在有限时间内在无限图中也能找到任何现有路径。