解决 AVL 树中节点数的递归关系？

Question

假设我们有这个递归关系，它出现在 AVL 树的分析中：

• F₁ = 1
• F₂ = 2
• F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} + 1（其中 n ≥ 3）

你将如何解决这个递归以获得 F(n) 的封闭形式？此数字用于获取高度为 n 的 AVL tree 中的最小内部节点数。

Answer 1

有很多方法可以解决这种重复问题，但其中大部分都非常复杂。我认为最简单的方法是扩展该系列的几个术语，看看你会发现什么：

• F(1) = 1
• F(2) = 2
• F(3) = 4
• F(4) = 7
• F(5) = 12
• F(6) = 20

如果您看一下，您会注意到以下内容：

• F(1) = 1 = 2 - 1
• F(2) = 2 = 3 - 1
• F(3) = 4 = 5 - 1
• F(4) = 7 = 8 - 1
• F(5) = 12 = 13 - 1
• F(6) = 20 = 21 - 1

看起来这些项只是斐波那契数列中减去 1 的项。特别要注意 F₃ = 2、F₄ = 3、F₅ = 5 等。因此，它看起来像模式是

• F(1) = 2 - 1 = F₃ - 1
• F(2) = 3 - 1 = F₄ - 1
• F(3) = 5 - 1 = F₅ - 1
• F(4) = 8 - 1 = F₆ - 1
• F(5) = 13 - 1 = F₇ - 1
• F(6) = 21 - 1 = F₈ - 1

因此，更一般地说，模式看起来是 F(n) = F_{n + 2} - 1。我们可以尝试使用数学归纳法将其形式化：

基本情况：

• F(1) = 1 = 2 - 1 = F₃ - 1
• F(2) = 2 = 3 - 1 = F₄ - 1

归纳步骤：假设 F(n) = F_n+2 - 1 和 F(n + 1) = F_n+3 - 1。那么我们有那个

• F(n + 2) = F(n) + F(n + 1) + 1 = F_n+2 - 1 + F_n+3 - 1 + 1 = (F_n+2 + F_n+3) - (1 + 1) + 1 = F_n+4 - 1 = F_{(n + 2) + 2} - 1

瞧！归纳检查。

那么，我是如何考虑使用斐波那契数列寻找这种模式的呢？嗯......递归定义有点像斐波那契数列的定义，所以我预计它们两者之间可能存在某种联系。观察一切都是斐波那契数减一只是创造性的洞察力。您可能会尝试通过使用生成函数或其他组合技巧来解决此问题，尽管我不是这些方面的专家。

希望这会有所帮助！