给定圆上的点，找到可以通过中心的线分开的最小点数

Question

假设给定一个度向量，表示单位圆上的点。您如何正式检查以查看在一个具有直径的半圆中可以隔离的最小点数？我知道对于给定的一组数据点，可能有多个直径满足此属性。没关系。我只对可以隔离的最小点数感兴趣，而不是特别是直径。它还需要计算效率高，因此它适用于大量点。我根据@d.b 的建议编写了以下内容，但算法对于 tst4 失败。

在 R 中，

# Plots the points on a circle and attempts to find the minimum m (algorithm incorrect for tst )
min_dia <- function(degs, plot = T){
  library(dplyr)

  plot_circle <- function(x, y, r) {
    angles <- seq(0, 2*pi,length.out = 360)
    lines(r*cos(angles) + x, r*sin(angles) + y)
  }

  deg <- degs
  plot_boo <- plot

 # @d.b suggestion method for finding m
  temp <- abs((deg - min(deg) + 180) %% 360 - 180)
  m <- min(table(cut(temp, breaks = c(-180, 90, 180))))

  if(plot_boo == T){
    tm_deg <- c(0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330)
    tm_rad <- (tm_deg * pi) / 180
    th <- (deg*pi)/180
    r <- 1
    x <- r*cos(th)
    y <- r*sin(th)
    windows.options(width = 600, height = 600)
    plot(x, y, xlim = c(-1.1, 1.1), ylim = c(-1.1, 1.1), pch = 20, xlab = "", ylab = "", main = "Plot of Given Data Points by Degrees")
    plot_circle(0, 0, 1)
    points(0, 0)
    text(r*cos(tm_rad), r*sin(tm_rad), labels = paste0(tm_deg), cex= 0.5, pos = 3)
  }

  return(m)
}

# Function to plot diameter by degrees
plot_dia <- function(deg){
  deg1 <- deg
  deg2 <- deg + 180
  th1 <- (deg1*pi)/180
  th2 <- (deg2*pi)/180
  x1 <- cos(th1)
  y1 <- sin(th1)
  x2 <- cos(th2)
  y2 <- sin(th2)
  lines(c(x1, x2), c(y1, y2))
}

# Testing
tst1 <- c(15, 45, 20) # m = 0
tst2 <- c(15, 45, 200) # m = 1
tst3 <- c(15, 46, 114, 137, 165, 187, 195, 215, 271, 328) # m = 3
tst4 <- c(36, 304, 281, 254, 177, 59, 47, 158, 244, 149, 317, 235, 345, 209, 204,
          156, 325, 95, 215, 267)

# Implementation
min_dia(tst1)
plot_dia(90) # eyeball and plot to check

min_dia(tst2)
plot_dia(190) # eyeball and plot to check

min_dia(tst3)
plot_dia(110) # eyeball and plot to check

min_dia(tst4)
plot_dia(150) # m is probably 2

对于我在代码中提供的度数为 15、45 和 225 的三个点，我可以用一条线分隔的最小点数（例如 m）为 1。

对于度数为 15、20、25 的点，答案显然是 0。

任何有关解决此最小化问题的有效算法的帮助或指导将不胜感激。

更新：

如果您要运行 R 代码，下面是该图以及一条线示例，该示例说明了您可以分离的最小点数，即 1。

更新：

我还更新了上面的代码，它允许绘制数据点，推测最小化 m 的直径，并按度数绘制直径。

Answer 1

如果点没有排序，则按角度排序。

使用两指针方法浏览列表。如果角度差为<180，则增加右索引，如果角度差为>180，则增加左索引。 (right-left, length-right+left) 的最小值是您想要的值。

请注意，扫描应该以循环方式执行（您可以像这样15, 45, 225, 375, 585添加带有+360添加的列表副本）

Answer 2

这是一种蛮力方法。只需在所有角度 (0.5:359.5) 画一条线，看看哪个角度的价值最小。

bar = function(degs){
    CUTS = sapply(0:359 + 0.5, function(D){
        temp = ((degs - D + 180) %% 360 - 180)
        min(table(cut(temp, breaks = c(-180, 0, 180))))
    })

    D = (0:359 + 0.5)[which.min(CUTS)]
    m = min(CUTS)

    plot(0, 0, type = "n",
    xlim = c(-1.5, 1.5), ylim = c(-1.5, 1.5),
    ann = FALSE, axes = FALSE, asp = 1)
    plotrix::draw.circle(0, 0, 1)

    degs = degs * pi/180
    xs = cos(degs)
    ys = sin(degs)

    x1 = cos(D * pi/180)
    y1 = sin(D * pi/180)

    x2 = cos((D * pi/180) + pi)
    y2 = sin((D * pi/180) + pi)

    lines(c(x1, x2), c(y1, y2))
    points(xs, ys, pch = 19)
    points(0, 0)
    return(c(min_num = m, angle = D))
}

tst4 <- c(36, 304, 281, 254, 177, 59, 47, 158, 244, 149, 317, 235,
             345, 209, 204, 156, 325, 95, 215, 267)

bar(degs = tst4)
# min_num   angle 
#     5.0   145.5