如何找到覆盖R中一组点的给定部分的最小椭圆？

Question

我想知道：是否有一些函数/聪明的方法可以找到覆盖 R 中一组 2d 点的给定部分的 最小 椭圆？ 使用 smallest 我的意思是面积最小的椭圆。

澄清：如果点的数量很大，我可以用一个近似正确的解决方案（因为我猜一个精确的解决方案必须尝试点子集的所有组合）

这个问题可能听起来像问题Ellipse containing percentage of given points in R 的重复，但该问题的措辞方式导致的答案不会导致最小的椭圆。比如使用Ellipse containing percentage of given points in R给出的解决方案：

require(car)
x <- runif(6)
y <- runif(6)
dataEllipse(x,y, levels=0.5)

生成的椭圆显然不是包含一半点的最小椭圆，我猜它是一个覆盖左上角三个点的小椭圆。

Answer 1

这听起来很像 2D 置信区间。试试http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/cluster/html/ellipsoidhull.html。您可能需要在 N 个点的每个组合上运行它，然后选择最小的结果。

Answer 2

我想我有一个需要两个函数的解决方案，MASS 包中的 cov.rob 和 cluster 包中的 ellipsoidhull。 cov.rob(xy, quantile.used = 50, method = "mve") 在包含在最小体积椭圆中的xy 的二维点总数中找到大约“最佳”50 个点。然而，cov.rob 不直接返回 this 椭圆，而是从最佳点估计的其他一些椭圆（目标是稳健地估计协方差矩阵）。要找到实际的最小椭圆，我们可以给找到最小椭圆的ellipsoidhull 提供最佳点，我们可以使用predict.ellipse 来获取定义椭圆外壳的路径的坐标。

我不是 100% 确定这种方法是最简单的和/或它 100% 有效（感觉应该可以避免使用 ellipsoidhull 的第二步，但我没有想到怎么样。）。它似乎至少适用于我的玩具示例....

废话不多说，代码如下：

library(MASS)
library(cluster)

# Using the same six points as in the question
xy <- cbind(x, y)
# Finding the 3 points in the smallest ellipse (not finding 
# the actual ellipse though...)
fit <- cov.rob(xy, quantile.used = 3, method = "mve")
# Finding the minimum volume ellipse that contains these three points
best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
plot(xy)
# The predict() function returns a 2d matrix defining the coordinates of
# the hull of the ellipse 
lines(predict(best_ellipse), col="blue")

看起来不错！您还可以检查 ellipse 对象以获取更多信息

best_ellipse
## 'ellipsoid' in 2 dimensions:
##  center = ( 0.36 0.65 ); squared ave.radius d^2 =  2 
##  and shape matrix =
##         x      y
## x 0.00042 0.0065
## y 0.00654 0.1229
##   hence, area  =  0.018 

这是一个方便的函数，可以将椭圆添加到现有的基础图形中：

plot_min_ellipse <- function(xy, points_in_ellipse, color = "blue") {
  fit <- cov.rob(xy, quantile.used = points_in_ellipse, method = "mve")
  best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
  lines(predict(best_ellipse), col=color)
}

让我们在更多的点上使用它：

x <- runif(100)
y <- runif(100)
xy <- cbind(x, y)
plot(xy)
plot_min_ellipse(xy, points_in_ellipse = 50)