C代码小波变换及解释

Question

我正在尝试在 C 中实现小波变换，但我以前从未这样做过。我已经阅读了一些关于小波的内容，并且理解了“增长子空间”的想法，以及 Mallat 的单边滤波器组如何本质上是相同的想法。

但是，我被困在如何实际实现 Mallat 的快速小波变换上。这是我目前所理解的：

1. 高通滤波器 h(t) 为您提供细节系数。对于给定的尺度 j，它是母小波 W(t) 的反射、扩张和规范版本。

2. g(t) 是弥补差异的低通滤波器。应该是h(t)的正交镜

3. 要获得第 j 级的细节系数或近似系数，您需要分别将信号块与 h(t) 或 g(t) 进行卷积，并将信号下采样 2^{j} （即取每 2^{j} 个值）

但是这些是我的问题：

1. 知道 h(t) 后如何求 g(t)？

2. 如何计算这个变换的逆？

您有任何我可以参考的 C 代码吗？ （是的，我在 wiki 上找到了，但没有帮助）

我想要一些代码说的是：

A.这是过滤器

B.这是变换（非常明确） C.) 这里是逆变换（同样是傻瓜）

感谢您的耐心等待，但似乎没有第 1 步 - 第 2 步 - 第 3 步 - 等等带有明确示例的指南（这不是 HAAR，因为所有系数都是 1，这会使事情变得混乱）。

Answer 1

fwt 的 Mallat 配方非常简单。如果您查看 matlab 代码，例如 Jeffrey Kantor 的 script，所有步骤都是显而易见的。

在 C 中需要做更多的工作，但这主要是因为您需要处理自己的声明和分配。

首先，关于你的总结：

1. 通常滤波器h是低通滤波器，代表缩放函数（父）
2. 同样，g 通常是代表小波（母）的高通滤波器
3. 您无法在 1 个过滤+下采样步骤中执行 J 级分解。在每个级别上，您通过使用 h 和下采样进行过滤创建一个近似信号 c，并通过使用 g 进行过滤创建一个细节信号 d 和下采样，并在下一个级别重复此操作（使用当前的 c）

关于您的问题：

1. 对于正交小波基 [h_1 h_2 .. h_m h_n] 的滤波器 h，QMF 为 [h_n -h_m .. h_2 -h_1]，其中 n 是偶数并且 m==n-1
2. 逆变换的作用与 fwt 相反：在每个级别上，它对细节 d 和近似值 c 进行上采样，将 d 与 g 和 c 与 h，并将信号加在一起 ​​-- 参见相应的 matlab script。

使用此信息，并给定len 类型double 的信号x，缩放h 和f 系数的小波g 滤波器（也属于double 类型），以及一个分解级别lev，这段代码实现了Mallat fwt：

double *t=calloc(len+f-1, sizeof(double));
memcpy(t, x, len*sizeof(double));        
for (int i=0; i<lev; i++) {            
    memset(y, 0, len*sizeof(double));
    int len2=len/2;
    for (int j=0; j<len2; j++)           
        for (int k=0; k<f; k++) {          
            y[j]     +=t[2*j+k]*h[k];      
            y[j+len2]+=t[2*j+k]*g[k];      
        }
    len=len2;                            
    memcpy(t, y, len*sizeof(double));    
}
free(t);

它使用一个额外的数组：“工作区”t 来复制近似值 c（输入信号 x 开始）用于下一次迭代。

请参阅此示例 C program，您可以使用 gcc -std=c99 -fpermissive main.cpp 编译并使用 ./a.out 运行。

反过来也应该是这样的。祝你好运！

Answer 2

唯一缺少的是过滤操作的一些填充。 线条

y[j]     +=t[2*j+k]*h[k];      
        y[j+len2]+=t[2*j+k]*g[k];

在第一次迭代期间超出 t 数组的边界，并在随后的迭代期间超出数组的近似部分。必须在 t 数组的开头添加 (f-1) 个元素。

double *t=calloc(len+f-1, sizeof(double));
memcpy(&t[f], x, len*sizeof(double));        
for (int i=0; i<lev; i++) {
memset(t, 0, (f-1)*sizeof(double));        
memset(y, 0, len*sizeof(double));
int len2=len/2;
for (int j=0; j<len2; j++)           
    for (int k=0; k<f; k++) {          
        y[j]     +=t[2*j+k]*h[k];      
        y[j+len2]+=t[2*j+k]*g[k];      
    }
len=len2;                            
memcpy(&t[f], y, len*sizeof(double));    
}