使用 boost odeint 的精确多维积分

Question

使用 boost odeint 以高精度计算多维积分的推荐方法是什么？以下代码将 f=x*y 从 -1 积分到 2，但相对于解析解的误差超过 1%（gcc 4.8.2，-std=c++0x）：

    #include "array"
    #include "boost/numeric/odeint.hpp"
    #include "iostream"
    using integral_type = std::array<double, 1>;
    int main() {
      integral_type outer_integral{0};

      double current_x = 0;
      boost::numeric::odeint::integrate(
        [&](
          const integral_type&,
          integral_type& dfdx,
          const double x
        ) {
          integral_type inner_integral{0};

          boost::numeric::odeint::integrate(
            [&current_x](
              const integral_type&,
              integral_type& dfdy,
              const double y
            ) {
              dfdy[0] = current_x * y;
            },
            inner_integral,
            -1.0,
            2.0,
            1e-3
          );

          dfdx[0] = inner_integral[0];
        },
        outer_integral,
        -1.0,
        2.0,
        1e-3,
        [&current_x](const integral_type&, const double x) {
          current_x = x; // update x in inner integrator
        }
      );
      std::cout
        << "Exact: 2.25, numerical: "
        << outer_integral[0]
        << std::endl;
      return 0;
    }

打印：

    Exact: 2.25, numerical: 2.19088

我应该只在内部积分中使用更严格的停止条件，还是有更快/更准确的方法来做到这一点？谢谢！

Answer 1

首先，计算高维积分的数值方法可能比 ODE 方案 (http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration) 更好，但我认为这是 odeint 的巧妙应用。

但是，您的代码的问题在于，它假定您在外部积分中使用观察者来更新内部积分的 x 值。但是，integrate 函数在内部使用密集输出步进器，这意味着实际时间步长和观察者调用不同步。所以内部积分的 x 不会在正确的时刻更新。一个快速的解决方法是使用带有 runge_kutta4 步进器的集成常量，它使用恒定步长并确保在外循环的每个步骤之后调用观察者调用，从而调用 x-updates。然而，这有点依赖于集成例程的一些内部细节。更好的方法是设计程序，使状态确实是二维的，但每次积分仅适用于两个变量之一。