计算机编程艺术练习题：第 1 章，第 8 题

Question

我正在做 TAOCP 第 1 卷第 3 版的练习，但无法理解以下练习答案中使用的语法。

第 1 章练习 8

通过指定 T_j,s_j,a_j,b _{计算正整数 m & n 的最大公约数j}

让您的输入由字符串 a^mbⁿ 表示（m a's 后跟 n b's）

答案：

令 A = {a,b,c}，N=5。该算法将以字符串 a^gcd(m,n)

终止 j T_j s_j b_j a_j 0 ab（空） 1 2 删除一个 a 和一个 b，或转到 2。 1（空） c 0 0 在最左边添加 c，返回 0。 2 a b 2 3 将所有 a 更改为 b 3 c a 3 4 将所有 c 更改为 a 4 b b 0 5 如果 b 剩余，重复

我难以理解的部分只是如何解释这张表。 此外，当 Knuth 说这将以字符串 a^gcd(m,n) 结束时——为什么 gcd(m,n) 的上标？

感谢您的帮助！

编辑了更多问题：

什么是 T_j -- 注意 T = Theta

什么是 s_j -- 注意 s = phi

您如何解释列 b_j 和 a_j？

为什么 Knuth 将解决方案中的新符号转换为他没有在文本中解释的示例？只是令人沮丧。谢谢！！！

Answer 1

这是该练习答案的implementation。也许有帮助。

顺便说一下，表格似乎描述了Markov algorithm。

据我所知，您从第一个命令集 j = 0 开始。将 T_j 的任何出现替换为 s_j 并跳转到下一个命令行取决于您是否替换了任何内容（在这种情况下跳转到 b_j，如果没有任何内容被替换，则跳转到 a_j）。

编辑：新答案：

A = {a,b,c} 似乎是您可以使用的字符集。 c 在算法过程中出现（添加到左侧，然后再次被 a 替换）。

Theta 和 phi 可能是一些您通常用于“原始”和“替换”之类的希腊字符，尽管我不知道它们是什么。

b_j 和 a_j 是接下来要执行的表格行。这与最后一列中人类可读的描述相匹配。

我唯一不能回答的是，为什么 Knuth 使用这种表示法没有任何解释。我又浏览了本书的第一章和解决方案，他没有在任何地方提及。

EDIT2：gdc(2,2) = 2 的示例

输入字符串：aabb 第 0 行：删除一个 a 和一个 b，或转到 2。 => ab => 转到 1 第1行：在最左边添加c，回到0。 => 出租车 => 去 0 第 0 行：删除一个 a 和一个 b，或转到 2。 => c => 转到 1 第1行：在最左边添加c，回到0。 => 抄送 => 去 0 第 0 行：删除一个 a 和一个 b，或转到 2。 没有找到ab，所以转到2 第 2 行：将所有 a 更改为 b 没有找到a，所以转到3 第 3 行：将所有 c 更改为 a => 一个 第 4 行：如果 b 仍然存在，则重复 没有找到 b，所以转到 5（结束）。 => 答案是“aa” => gdc(2,2) = 2

顺便说一句，我认为第 1 行的描述应该是“删除一个“ab”，或者转到第 2 行。”这让事情变得更清楚了。

Answer 2

a^m 的概念可能是状态机上下文中输入字符串的概念。

这样的概念用于指代m 连续的a 实例，即：

a⁴ = aaaa
b⁷ = bbbbbbb
a⁴b⁷a³ = aaaabbbbbbbaaa

而a^gcd(m,n)的意思是在运行（解决方案）状态机之后，结果字符串应该是gcd(m,n)实例a

换句话说，结果中a的数量应该等于gcd(m,n)的结果

我同意@schnaader 的观点，因为它可能是一个描述马尔可夫算法用法的表格。

Answer 3

gcd(m,n) 的上标是由于数字在此表中的表示方式。

例如：m => a^m n => b^n

gcd(m,n) => a^gcd(m,n)

看起来好像正在实施欧几里得算法。 即

gcd(m,n):
  if n==0:
    return m
  return gcd(n,m%n)

数字表示为幂，以便能够进行模运算 m%n。

例如，4 % 3，将按如下方式计算： 4 'a's (a^4) mod 3 'b's (b^3)，这将留下 1 'a' (a^1)。