使用扩展欧几里得算法创建 RSA 私钥答案

【问题标题】：Using Extended Euclidean Algorithm to create RSA private key使用扩展欧几里得算法创建 RSA 私钥
【发布时间】：2013-09-27 05:23:17
【问题描述】：

这是我在学校做的一项作业。我无法生成私钥。我的主要问题是理解我的方程之间的关系。要设置所有内容，我们有：

p = 61
q = 53
n = p * q (which equals 3233)

从这里我们有n的总和（phi(n)）等于3120，现在我们可以选择素数e；其中 1

e = 17

好吧，很简单。

对于我的任务，我们已经知道d = 2753，但是我仍然需要能够任意生成这个值。

现在我遇到了麻烦。我一直在阅读维基百科以了解某些地方没有联系。我知道我需要找到e (mod phi(n)) 中的modular multiplicative inverse，这将是我们的私有指数d。

阅读维基百科告诉我们找到我们需要使用Extended Euclidian Algorithm的mmi。我在python中实现了如下算法：

def egcd(a, b):
    x, lastX = 0, 1
    y, lastY = 1, 0
    while (b != 0):
        q = a // b
        a, b = b, a % b
        x, lastX = lastX - q * x, x
        y, lastY = lastY - q * y, y
    return (lastX, lastY)

这就是我迷路的地方。据我所知，等式ax + bx = gcd(a, b) = 1 与e*x + phi(n)*y = gcd(e, phi(n)) = 1 相同。所以我们调用egcd(e, phi(n))，现在我的x 和y 得到[-367, 2]。

从这里我真的不知道该去哪里。我已经阅读了this similar question 并且我看到发生了一些替换，但我不明白这些数字与我得到的答案或我开始使用的值有什么关系。有人可以务实地向我解释我需要从这里做什么吗？（当我务实地说，我的意思是没有实际代码。伪代码很好，但如果我得到实际代码，我将无法在没有抄袭作业的情况下学习，这是一个很大的禁忌）。

与往常一样，我们真诚地感谢您的任何帮助。谢谢大家！

（是的，我见过这些：RSA: Private key calculation with Extended Euclidean Algorithm 和 In RSA encryption, how do I find d, given p, q, e and c?）

【问题讨论】：

我也已经读过了：crypto.stackexchange.com/questions/5889/…
-367 和 2753 是同一个数字（mod 3120）。
天哪。你一定是在开玩笑吧。几个小时以来，我一直在玩弄几十种不同的组合，但没有成功。我不知道我没有想到那个，谢谢一百万！
要记住的一点是，在大多数编程语言中，% 不是取模函数，而是 remainder 函数。差别不大，但如果你最终得到一个负整数而不是正整数，那会很有趣。
哦，真的吗？这绝对有帮助。在尝试其他几个示例时，我得到了一些不一致的结果，我不知道为什么（我仍在查看我的代码，看看我是否在某个地方搞砸了，这很有可能。）。对于这些意图和目的，有没有比使用 % 运算符更正确的方法来在 python3 中找到数字的 mod？

标签： python algorithm encryption rsa modular-arithmetic

【解决方案1】：

您所拥有的扩展欧几里得算法的实现并不完整，因为它正在为私钥生成一个负数。请改用此代码：

https://en.wikibooks.org/wiki/Algorithm_Implementation/Mathematics/Extended_Euclidean_algorithm

对于您的示例，私钥 d 是 2753。

p=61
q=53
n = 3233
phi(n)=3120
e=17
d=modinv(17,3120)=2753

试试看：

message m m=65


encryption: m^e mod n = c    (65**17) % 3120 =  65
decryption: c^d mod n = m      (65**2753) % 3120 =   65

这里都有解释：

http://southernpacificreview.com/2014/01/06/rsa-key-generation-example/

【讨论】：

【解决方案2】：

def egcd(a,b):   
    s1, s2 = 1, 0   
    t1, t2 = 0, 1   
    while b!=0:   
        q = a//b    
        r = a%b   
        a, b = b, r     
        s = s1-q*s2    
        s1, s2 = s2, s      
        t = t1-q*t2    
        t1, t2 = t2, t    
    return (s1, t1)

试试上面的比较。

我会告诉你你的错误在哪里：

a, b = b, a % b

a 现在具有 b 的值 (b=a%b)==(b=b%b)
以及进行两行的类似原因

【讨论】：