【发布时间】：2017-02-20 07:08:40
【问题描述】：
一般来说，以下是否总是正确的？
log(n) = O(na/(a+1))？英石。 a 是任何常数正整数，可能非常大。
如果不是，a 的最大值是多少，这句话将成立？
【问题讨论】：
标签： algorithm math time-complexity big-o logarithm
【发布时间】：2017-02-20 07:08:40
【问题描述】：
随着函数的发展，log(n) 总是比 nany power 增长慢 n 变大。证明见https://math.stackexchange.com/questions/1663818/does-the-logarithm-function-grow-slower-than-any-polynomial。
所以只要 a 是一个常数正整数，它的值是多少并不重要，因为总是可以找到常数 C 和k 使得 log(n) C(na em>/(a+1)| + k，就是big-O的定义。
不过，你也可以直观的理解：na/(a+1 ) 在 a 变大时接近 n。自然，log(n) 总是 O(n)。
【讨论】：
-
" a 的值是什么并不重要"：它确实有点重要：当 a 为在区间 [-1, 0]?
-
你误会了。他在询问函数 log(N) 的复杂性，当 N 变得任意大时。
-
@trincot，OP 指定 a 是“任何恒定的正整数”。 a 不能在区间 [-1, 0] 内。
-
@MalcolmMcLean 我不明白你的评论和我回答的问题之间的区别。
-
@pymaxion，所以这很重要。您的陈述可以理解为意味着 OP 对变量 a 施加的约束是不相关的。
基本事实是，由于对数的凹度，它总是低于它的切线。所以
log(x) <= log(e) + 1/e * (x-e) = x/e
这样
log(n) = O(n).
现在只需要应用对数定律来找到
log(n) = 1/c * log(n^c) <= 1/(ce) * n^c
因此log(n)=O(n^c) 表示任何积极的C。
【讨论】：
如果您的意思是 log(n)∈O(n^(a/(a+1))，是的，这对于所有正整数 a 都是正确的，因为 a/a+1 < 1 => n^(a/(a+1) ∈ O(n) 和因为 log(n) ∈ O(n) => log(n) ∈ O(n^(a/(a+1))
【讨论】：