如何计算不同数量的决策变量 - 线性规划答案

【问题标题】：How to count distinct number of decision variables - Linear programming如何计算不同数量的决策变量 - 线性规划
【发布时间】：2020-09-14 03:59:54
【问题描述】：

我有 5 个决策变量（例如）x1 - x5，每个的下限 = 5，每个的上限 = 30，它们只允许采用整数值。这些决策变量被用来计算毛利率（通过一些函数），目标函数是最大化毛利率。

现在，在为 x1 - x5 选择最佳值时，我有一个约束条件，即 x1 - x5 的不同值不应超过 2 个（比如说）。

任何人都可以帮助我了解如何制定上述约束条件，即不同决策变量值的计数

谢谢。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

对此有不同的建模方法。这是一个简单的方法。先引入二进制变量：

  y(i,k) = 1  if x(i)=k    i=1,..,5, k=5,...,30
           0  otherwise

这意味着我们可以写：

  x(i) = sum(k, k*y(i,k))
  sum(k, y(i,k)) = 1       for all i

链接 x 和 y。现在引入二进制变量：

  z(k) = 1   if some x(i)=k
         0   otherwise  (actually we will allow 0 or 1 when all x(i)<>k, see below)

我们希望其中最多 2 个为 1。这可以简洁地表述为：

  z(k) >= y(i,k)       for all i,k
  sum(k, z(k)) <= 2

请注意，这只是一个界限。我们有

  y(i,k) = 1  ==> z(k) = 1

但实际上我们不需要：

  y(i,k) = 0  ==> z(k) = 0

但这对于这种特殊情况来说已经足够了。因此，当打印 z 时，请注意它的值可能有点难以解释。

一些变量可以放宽为连续的。这可能会节省一些整数/二进制变量的数量。这是否对求解器有利并不总是很清楚，可能需要进行一些实验。

*更新：添加了缺失的约束

【讨论】：

感谢@Erwin Kalvelagen 的及时回复。确实很有帮助。我唯一要添加到您的答案的是，当您建议添加“x(i) = sum(k, k*y(i,k))” 作为约束时，我们还需要添加另一个约束： sum(y( i,k)) == 1 [对于给定的 i，对 k 求和，因此有 5 个约束]。这是因为假设 x1 = 15，那么我们希望 y(1,15) = 1，没有上述约束，很可能当 x1 = 15 时，y(1,7) = 1 & y( 1,8) = 1。如果我推断有误，请告诉我。再次感谢