如何在优化算法中引入线性约束，该约束涉及依赖于决策变量的计算变量

Question

一个优化问题由一个应该最小化的目标函数、10 个决策变量（从x(1) 到x(10)）和一些约束组成。

在目标函数中计算了一些附加变量，即

Variable1=5*x(5)+x(1)*10-25
Variable2=x(1)=5*x(2)+50*x(10)

等等

问题是我想将以上两个作为决策变量函数的计算变量（Variable1 和Variable2）放入约束函数中。例如：

Variable1>=100
Variable2<50

为此，我试图将这些条件放入约束函数中：

function [c,ceq] = constraints(x)
c = [-Variable1+100;
Variable2-50;];

ceq = [];

我知道这些约束是线性的，但是不可能把它们当作线性约束=>A*X<b，因为线性约束只能包含决策变量。

在这种形式中，fmincon 算法不考虑上述条件。我怎样才能添加这些约束？

Answer 1

Variable1 = 5*x(5) + x(1)*10 -25

写Variable1包括所有的决策变量，缺失的有0作为系数

Variable1 = 10*x(1) + 0*x(2) + 0*x(3) + 0*x(4) + 5*x(5) + ...
            0*x(6) + 0*x(7) + 0*x(8) + 0*x(9) + 0*x(10) -25

Variable1 >=100

10*x(1) + 0*x(2) + 0*x(3) + 0*x(4) + 5*x(5) + ...
0*x(6) + 0*x(7) + 0*x(8) + 0*x(9) + 0*x(10) -25 >= 100

左侧应仅包含决策变量
通过在两侧添加 +25 从左侧删除 -25

10*x(1) + 0*x(2) + 0*x(3) + 0*x(4) + 5*x(5) + ...
0*x(6) + 0*x(7) + 0*x(8) + 0*x(9) + 0*x(10)  >= 100 + 25

通过将两边都乘以-1，将>= 更改为<=

-10*x(1) - 0*x(2) - 0*x(3) - 0*x(4) - 5*x(5) - ...
0*x(6) - 0*x(7) - 0*x(8) - 0*x(9) - 0*x(10)  <= -100 - 25

• A第一行：复制左侧决策变量系数

A(1, :) = [-10, -0, -0, -0, -5, -0, -0, -0, -0, -0]

• b第一行：复制右手边的值

b(1, :) = -100-25;

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Variable2 的逻辑相同

Variable2 = x(1) + 5*x(2)+50*x(10)
Variable2 = x(1) + 5*x(2) + 0*x(3) + 0*x(4) + 0*x(5) + ...
            0*x(6) + 0*x(7) + 0*x(8) + 0*x(9) + 50*x(10)

Variable2 < 50

1*x(1) + 5*x(2) + 0*x(3) + 0*x(4) + 0*x(5) + ...
0*x(6) + 0*x(7) + 0*x(8) + 0*x(9) + 50*x(10) < 50

• A第二排

A(2, :) = [+1, +5, +0, +0, +0, +0, +0, +0, +0, +50]

• b第二排

b(2, :) = +50

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总体A和b

A = [-10, 0, 0, 0, -5, 0, 0, 0, 0, 0; 
     1, 5, 0, 0,  0,  0, 0, 0, 0, 50 ]  

b = [-125; 50]