12.1 可以精确地表示为浮点数吗？答案

【问题标题】：Can 12.1 be represented exactly as a floating point number?12.1 可以精确地表示为浮点数吗？
【发布时间】：2010-12-26 15:14:05
【问题描述】：

这是指this question中的cmets：

Java 中的这段代码生成 12.100000000000001，这是使用 64 位双精度数，可以精确地呈现 12.1。 – 热解

这是真的吗？我觉得由于浮点数表示为 2 的幂的和，所以无论你有多少位，你都不能准确地表示 12.1。但是，当我实现了这两种算法并打印了使用 (12.1, 3) 和许多有效数字调用它们的结果时，我分别得到了他和我的结果：

12.100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 12.10000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

我使用String.format("%76f") 打印了这个。我知道这比必要的零多，但我在 12.1 中看不到任何舍入。

【问题讨论】：

能否请您发布打印这两个数字的代码，因为我不得不说我相信其他 cmet 说您不能准确表示 12.1，以及您要打印的位数应该在某个时候显示刚好超过或低于。如果双精度数有 53 位尾数，那么您可能会看到与第 14 位有效数字之间的差异。
这是该问题的前两个答案 - 我不想在这里重复自己。
如果你们都使用strictfp 并再次比较结果会怎样？在这种情况下，结果应该与 VM 无关。（我没有声称没有strictfp 语言规范允许不同的结果。不知道不关心。无论如何，浮点数意味着不精确的值）
我认为您的问题当前设置方式的正确答案在这里 stackoverflow.com/questions/1904321/… 。你的意思是你能在 java double 中准确地表示 12.1 吗？
我看了那个问题，没有看到任何打印数字的代码，只是计算数字的代码。

标签： java math floating-point numbers floating-accuracy

【解决方案1】：

没有。正如其他人在他评论的后续文章中指出的那样，（有限数量的）2 的幂之和永远不会恰好等于 12.1。就像你不能精确地表示以十为底的 1/3，无论你在小数点后使用多少位。

【讨论】：

为什么打印的数字那么准确？第一个答案肯定比第二个更准确。
嘿，“其他人”跟进的是我=P。
@Claudio - 据我所知，您将 12.1 的 double 近似值四舍五入到一个数字......当转换回十进制时......非常接近 12.1。这并不奇怪。
@Claudio - 如果生成的十进制数字恰好是 12.1，这绝对是您用于将 double 转换为十进制字符串的库例程的人工制品。它四舍五入为数字的“人类友好”版本，而不是显示与您提供的 double 数学上最接近的十进制数字。

【解决方案2】：

在二进制中，12.1 是：

1100.000110011001100110011...

由于 this 不会终止，因此它不能用 double 或任何其他有限宽度二进制浮点类型的 53 个有效位精确表示。

【讨论】：

【解决方案3】：

尝试用二进制表示 0.1：
0.5 太大
0.25 太大
0.125 太大
0.0625 适合，余数为 0.0375
0.03125 适合，余数为 0.00625
0.015625 太大
0.0078125 太大
0.00390625 适合，余数为 0.00234375
0.001953125 适合，余数为 0.000390625

它将无限期地重复，创建一个以 2 为底的值 0.00011001100...

不，它不能精确地用双精度表示。如果 Java 支持 BCD 或定点十进制，那将完全可以工作。

【讨论】：

Java 确实支持小数，参见 java.math.BigDecimal。

【解决方案4】：

不是二进制的，不。如果您允许我幻想，您可以使用“浮点二进制编码的十进制”（据我所知，从未实现过）：

12.1 = 0000 . 0001 0010 0001 * (10^2)

在二进制中，所有非零值的格式为1.xyz * m，而 IEEE 格式利用这一点省略了前导 1。我不确定 FP-BCD 的等价物是什么，所以我走了取而代之的是 0.xyz * m 形式的值。

【讨论】：

'"浮点二进制编码的十进制"（据我所知，从未实现过）'——哎呀，你需要阅读你的历史记录。它是在大约 50 年前实施的。
P.S.也就是说，它是在大约 50 年前在硬件中实现的，尽管在此之前和之后它也在软件中实现。
这很有趣，事后看来并不奇怪。不过，我所说的仍然是正确的：“据我所知”等等；-)
实际上 IEEE 754 浮点标准以密集十进制（10 位 = 3 位）定义了十进制浮点格式。不过，我还没有在野外见过那些。 en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008#Basic_formats
@starblue -- 感谢您提供的信息。更有效地打包东西是有意义的（实际上是 2 位）。当它以 10^3 为底时，您是否可以诚实地称其为“十进制”是另一回事... ;-)

【解决方案5】：

我建议阅读What Every Computer Scientist Should Know About Floating Point Arithmetic。那你就肯定知道了。 :)

【讨论】：

java 程序员应该知道的关于浮点数的一切：它们并不精确:) 这对我来说已经足够了。
@irreputable 什么？它们非常精确。它们是由一些最聪明的人制作的，尽可能精确和准确，即使在使用不当和编程不佳的情况下也是如此。它们只是不是无限精确的。

【解决方案6】：

查看双精度的方法是将其转换为 BigDecimal。

// prints 12.0999999999999996447286321199499070644378662109375
System.out.println(new BigDecimal(12.1));

【讨论】：

【解决方案7】：

是的，您可以用浮点数精确表示 12.1。您只需要十进制浮点表示，而不是二进制表示。

使用 BigDecimal 类型，您将准确地表示它！

【讨论】：

浮点数专门指 IEEE 754 规范...... BigDecimal 也不是浮点数
不，这是浮点的一种实现；浮点通常是指使用滑动表示的任何实现。 big decimal 既是浮点实现又是任意精度实现。此外，IEEE 754 规范确实指定了可以精确保存 12.1 的十进制浮点表示，以及名称为 Decimal32 的更知名的二进制表示。
哦有趣，我从来不知道十进制格式！谢谢。是否有任何硬件支持使用该格式？
我使用过的硬件十进制浮点实现的唯一硬件是 IBM 的 POWER6 和 POWER6+ 架构。

【解决方案8】：

不，十进制数 12.1 不能表示为有限（终止）二进制浮点数。

记住12.1 是有理数121/10。请注意，这个分数是最低的（不能通过去除分子和分母的共同因素来减少）。

假设（为了达到一个矛盾）121/10 也可以写成n / (2**k) 其中n 和k 是一些正整数，而2**k 表示k 两个的幂.我们会有一个unique factorization 的反例。特别是

10 * n == 2**k * 121

左边能被 5 整除，右边不能被 5 整除。

【讨论】：

【解决方案9】：

您可以使用的一个选项是不存储 v=0.1，而是存储 v10=1。只需在需要时除以 10（除法会在结果中产生截断错误，但 v 仍然可以）

在这种情况下，您基本上是在进行定点破解，但将数字保持在浮点数中。但除非你真的必须这样做，否则通常不值得这样做。

【讨论】：