在无向无权图中查找给定长度的路径数

Question

路径的“长度”是路径中的边数。

给定一个源顶点和一个目标顶点，我想找到路径数从源顶点到目标顶点给定长度 k。

• 我们可以随意访问每个顶点，所以如果从a 到b 的路径是这样的：a -> c -> b -> c -> b，它被认为是有效的。这意味着可以有循环，我们可以多次经过目的地。

• 两个顶点可以通过多条边连接。因此，如果顶点 a 和顶点 b 由两条边连接，则路径 a -> b via edge 1 和 a -> b via edge 2 被认为是不同的。

• 顶点数N

• 由于答案可能非常大，因此需要以某个数字为模进行报告。

这是我目前的想法：

我们可以使用 breadth-first-search 而不将任何顶点标记为已访问，在每次迭代中，我们都会跟踪该路径所需的边数 'n_e' 和 product 的'p'我们路径中每条边的重复边数。

如果n_e大于k，搜索应该终止，如果我们到达目的地n_e等于k，我们终止搜索并将p添加到out count of paths中。

我认为我们可以使用深度优先搜索而不是广度优先搜索，因为我们不需要最短路径，并且在广度优先搜索中使用的 Q 的大小可能还不够。

我正在考虑的第二种算法类似于Floyd Warshall's Algorithm 使用this 方法。只有我们不需要最短路径，所以我不确定这是否正确。

我的第一个算法遇到的问题是“K”可以达到 1000000000，这意味着我的搜索将一直运行到它有 10^9 条边并且 n_e 边数将在每个级别仅增加 1，这会很慢，我不确定它是否会因大量输入而终止。

所以我需要一种不同的方法来解决这个问题；任何帮助将不胜感激。

Answer 1

所以，这是我记得的一个漂亮的图论技巧。

制作一个邻接矩阵A。如果i 和j 之间存在边，则A[i][j] 为1，否则为0。

那么，i 和j 之间长度为k 的路径数就是A^k 的[i][j] 条目。

所以，为了解决这个问题，构建A 并使用矩阵乘法构造 A^k（这里适用于求幂的常用技巧）。然后只需查找必要的条目。

编辑：嗯，你需要在矩阵乘法中进行模运算以避免溢出问题，但这是一个小得多的细节。

Answer 2

实际上，A^k 的 [i][j] 条目在每个简单图中显示了总不同的“walk”，而不是“path”。我们可以很容易地通过“数学归纳法”来证明它。 但是，主要问题是在给定图中找到完全不同的“路径”。 我们有很多不同的算法要解决，但上限如下：

(n-2)(n-3)...(n-k) 其中“k”是指定路径长度的参数。

Answer 3

让我在上面的答案中添加更多内容（因为这是我面临的扩展问题）。扩展问题是

在给定的无向树中找到长度为k 的路径数。

对于图G的给定邻接矩阵A，解决方法很简单，找出A^k-1和A^k，然后计算1s 在对角线上方（或下方）的元素中。

让我也添加 python 代码。

import numpy as np

def count_paths(v, n, a):
    # v: number of vertices, n: expected path length
    paths = 0    
    b = np.array(a, copy=True)

    for i in range(n-2):
        b = np.dot(b, a)

    c = np.dot(b, a)
    x = c - b

    for i in range(v):
        for j in range(i+1, v):
            if x[i][j] == 1:
                paths = paths + 1

    return paths

print count_paths(5, 2, np.array([
                np.array([0, 1, 0, 0, 0]),
                np.array([1, 0, 1, 0, 1]),
                np.array([0, 1, 0, 1, 0]),
                np.array([0, 0, 1, 0, 0]),
                np.array([0, 1, 0, 0, 0])
            ])