使用python进行梯度计算

Question

我想知道numpy.gradient 是如何工作的。 我使用梯度来尝试计算群速度（波包的群速度是频率相对于波数的导数，而不是一组速度）。我给它输入了一个 3 列数组，前 2 列是 x 和 y 坐标，第三列是该点 (x,y) 的频率。我需要计算梯度，我确实期望一个二维向量，即梯度定义

df/dx*i+df/dy*j+df/dz*k 

我的函数只是 x 和 y 的函数，我确实期望像

df/dx*i+df/dy*j 

但我有 2 个数组，每个数组有 3 个列，即 2 个 3d 向量；起初我认为两者的总和会给我我正在搜索的向量，但 z 分量并没有消失。我希望我的解释足够清楚。我想知道numpy.gradient 是如何工作的，以及它是否是解决我问题的正确选择。否则我想知道是否还有其他我可以使用的 python 函数。

我的意思是：我想计算一个值数组的梯度：

data=[[x1,x2,x3]...[x1,x2,x3]]

其中 x1,x2 是均匀网格上的点坐标（我的点在布里渊区），x3 是该点的频率值。我还提供了两个方向的推导步骤：

stepx=abs(max(unique(data[:,0])-min(unique(data[:,0]))/(len(unique(data[:,0]))-1)

y 方向相同。 我没有在网格上构建我的数据，我已经有一个网格，这就是为什么在答案中给出的示例对我没有帮助。 一个更合适的例子应该有一个点和值的网格，就像我所拥有的那样：

data=[]
for i in range(10):
  for j in range(10):
    data.append([i,j,i**2+j**2])

data=array(data,dtype=float)

gx,gy=gradient(data)

我可以补充的另一件事是，我的网格不是正方形的，而是具有多边形的形状，即二维晶体的布里渊区。

我知道numpy.gradient 只能在值的方形网格上正常工作，而不是我正在搜索的内容。即使我将我的数据作为一个网格，在我的原始数据的多边形之外有很多零，这会给我的梯度添加非常高的向量，影响（负面）计算精度。这个模块在我看来更像是一个玩具而不是一个工具，它有严重的限制恕我直言。

使用字典解决问题。

Answer 1

您需要为gradient 提供一个矩阵，该矩阵描述您的(x,y) 点的角频率值。例如

def f(x,y):
    return np.sin((x + y))
x = y = np.arange(-5, 5, 0.05)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
zs = np.array([f(x,y) for x,y in zip(np.ravel(X), np.ravel(Y))])
Z = zs.reshape(X.shape)

gx,gy = np.gradient(Z,0.05,0.05)

您可以看到将 Z 绘制为曲面给出：

这里是如何解释你的渐变：

gx 是一个矩阵，它在所有点上都给出了dz/dx 的变化。例如gx[0][0] 是dz/dx(x0,y0)。可视化 gx 有助于理解：

因为我的数据是从f(x,y) = sin(x+y) gy 生成的，所以看起来是一样的。

这是一个使用f(x,y) = sin(x)的更明显的例子...

f(x,y)

和渐变

更新让我们看看 xy 对。

这是我使用的代码：

def f(x,y):
    return np.sin(x)
x = y = np.arange(-3,3,.05)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
zs = np.array([f(x,y) for x,y in zip(np.ravel(X), np.ravel(Y))])
xy_pairs = np.array([str(x)+','+str(y) for x,y in zip(np.ravel(X), np.ravel(Y))])
Z = zs.reshape(X.shape)
xy_pairs = xy_pairs.reshape(X.shape)

gy,gx = np.gradient(Z,.05,.05)

现在我们可以看看到底发生了什么。假设我们想知道与Z[20][30] 的值相关联的点是什么？那么……

>>> Z[20][30]
-0.99749498660405478

重点是

>>> xy_pairs[20][30]
'-1.5,-2.0'

对吗？让我们检查一下。

>>> np.sin(-1.5)
-0.99749498660405445

是的。

那时我们的梯度成分是什么？

>>> gy[20][30]
0.0
>>> gx[20][30]
0.070707731517679617

这些都退房了吗？

dz/dy always 0检查。 dz/dx = cos(x) 和...

>>> np.cos(-1.5)
0.070737201667702906

看起来不错。

您会注意到它们并不完全正确，那是因为我的 Z 数据不是连续的，步长为 0.05 和 gradient 只能近似变化率。