sum 小于或等于 N 的数的除数之和

Question

我真的需要一些帮助来解决这个问题：

给定一个正整数N，我们将xsum(N)定义为所有小于或等于N的正整数除数之和。

例如：xsum(6) = 1 + (1 + 2) + (1 + 3) + (1 + 2 + 4) + (1 + 5) + (1 + 2 + 3 + 6) = 33 .
（xsum - 1 的除数总和 + 2 的除数总和 + ... + 6 的除数总和）

给定一个正整数K，要求您找到满足条件的最小N：xsum(N) >= K

K 是一个非零自然数，最多有 14 位数字

时间限制：0.2 秒

显然，在超过时间限制的大多数情况下，蛮力将下降。我还没有找到比它更好的东西，所以这就是代码：

fscanf(fi,"%lld",&k);
i=2;
sum=1;
while(sum<k) {
    sum=sum+i+1;
    d=2;
    while(d*d<=i) {
          if(i%d==0 && d*d!=i)
             sum=sum+d+i/d;
          else
             if(d*d==i)
                 sum+=d;
           d++;
    }
    i++;
}

有更好的想法吗？

Answer 1

对于 [1 , N] 范围内的每个数字 n，以下适用：n 是 [1 , N] 范围内的 roundDown(N / n) 数字的除数。因此，对于每个n，我们将总计n * roundDown(N / n) 添加到结果中。

int xsum(int N){
    int result = 0;

    for(int i = 1 ; i <= N ; i++)
        result += (N / i) * i;//due to the int-division the two i don't cancel out

    return result;
}

该算法背后的思想也可用于以比蛮力搜索更快的速度解决主要问题 (smallest N such that xsum(N) >= K)。

使用我们可以从上面的代码中得出的一些规则可以进一步优化完整的搜索：K = minN * minN（如果K = 2 * 3 * ...)，minN 将是正确的结果。使用此信息，我们有一个开始搜索的下限搜索。

下一步是搜索上限。由于xsum(N) 的增长（近似）是二次的，我们可以用它来近似N。这种优化的猜测可以很快找到搜索到的值。

int N(int K){
    //start with the minimum-bound of N
    int upperN = (int) sqrt(K);
    int lowerN = upperN;

    int tmpSum;
    //search until xsum(upperN) reaches K
    while((tmpSum = xsum(upperN)) < K){
        int r = K - tmpSum;

        lowerN = upperN;
        upperN += (int) sqrt(r / 3) + 1;
    }

    //Now the we have an upper and a lower bound for searching N
    //the rest of the search can be done using binary-search (i won't
    //implement it here)

    int N;//search for the value

    return N;
}