加快搜索 Carmichael 数字？

Question

这里的主要问题是：有没有更好的方法在 Python 中使用“all”？ 我读过它经历了每一种情况，然后回来看看是否有任何情况。我想一次检查一个条件，然后在一个不工作时立即退出。我相信这被称为“短路......”。我不能使用一系列“和”，因为它们会随着输入而改变，并且可能有数百万个条件。

我正在寻找Carmichael numbers。卡迈克尔数的一个定义是对于所有 1

我使用了代码：

def Carm(num):
    if all(gcd(k,num) == 1 for k in range(3,int(round(num**0.5)),2)) and gcd(2,num) == 1:
        print(num,'is a Prime Number')
    elif all(pow(b,num,num)==b for b in range(1,num)) and gcd(num,2)==1:
        print(num,'is a Carmichael Number')
    else:
        print(num,'is not a Carmichael Number')

Answer 1

回答原问题

我能得到的最好结果是通过重新安排您的条件（加速取决于您输入的数字是否通过第一个条件）并使用math.gcd() 代替fractions.gcd()，将速度提高了大约 4.5 倍。

我还让它们返回一个字符串而不是打印一个。这应该更快，但主要是我这样做是因为它更容易测试时序。然后你可以对字符串做任何你想做的事情：

def carm_math_reorder(num):
    if math.gcd(2,num) == 1 and all(math.gcd(k,num) == 1 for k in
                                    range(3, int(round(num**0.5)), 2)):
        return 'Prime'
    elif math.gcd(num, 2) == 1 and all(pow(b, num, num)==b for b in
                                       range(1, num)):
        return 'Carmichael'
    return 'Composite'  # implicit "else" return

% timeit [Carm(num) for num in range(1000)]  # your implementation
16.9 ms ± 89.4 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

% timeit [carm_math_reorder(num) for num in range(1000)]
3.71 ms ± 45.3 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)

重新排列条件是可行的，因为and 短路（实际上all 也是如此），所以如果第一个条件没有通过，Python 将忽略第二个条件并继续前进。在您的情况下 Carmichael 测试，检查单个 gcd() 的条件比检查 pow(b, n, n) == 1 的条件快，至少在我的测试中。因此gcd() 测试应该首先进行。对于测试数字是否为素数的行可能无关紧要。在我的测试中，这种变化导致了大​​约 2 倍的加速。

我收到fractions.gcd() 已弃用的警告，所以我改用math.gcd()，这样启动速度更快！这让我看到了其余的加速。

当然，如果您需要一次检查 很多 个数字，最好使用 numpy 并将其矢量化。让我知道这是否是您的用例，我会看看是否可以为此想出一个不错的优化版本。

修正卡迈克尔测试

我很确定您对 Carmichael 号码的检查已取消。如果pow(b, n) % n == 1 对于所有整数 b，则数字是 Carmichael，而不是对于所有 b < n。你不能这样检查，所以你需要一个不同的规则。

如果pow(b, n-1) % n == 1 用于所有b = 1, 2, ..., n 使得b 和n 是互质数，您似乎可以使用一个数字是Carmichael 的事实。 Here is a good example，以及上述示例中的代码（或多或少）：

from math import gcd
def is_carm(n):
    """ Check whether n is a Carmichael number """
    for b in range(2, n):
        # If b is relatively prime to n
        if gcd(b, n) == 1:
            # If pow(b, n-1) % n is not 1, not Carmichael
            if pow(b, n-1, n) != 1:
                return False
    return True  # Carmichael!

这比上面的选项慢，但我相信它在技术上是正确的：最好的正确。

Answer 2

all 已经短路了。无论来源使您认为它不是，要么该来源是错误的，要么您误解了它。我们不知道。

不过，加快速度仍然很容易。例如，您的gcd 调用正在测试num 是否与所有这些数字互质，但这是昂贵且不必要的。我们只需要检查可分性，这可以通过更快的num % k != 0 来完成。此外，被 2 整除比其他任何检查都排除了更多的数字，因此将其放在首位将节省一些工作。另外，gcd(num,2)==1 签入elif 也是多余的。

def is_carmichael(n):
    # Requires a positive integer.
    if n == 1:
        return '1'
    elif n % 2 != 0 and all(n % k != 0 for k in range(3, math.ceil(n**0.5), 2)):
        return 'prime'
    elif all(pow(k, n, n) == k for k in range(1, n)):
        return 'carmichael'
    else:
        return 'non-carmichael composite'