数素因数的乘积

Question

给定一个数字 X ，计算该数字的 质数 因子的乘积的最有效方法是什么？ 有没有办法在没有实际分解的情况下做到这一点？ 注意-需要素因数的乘积（全部为幂单位）。

Answer 1

此答案解决了您问题的后半部分 - 即是否可以在不分解数字的情况下计算主要因素的乘积。这个答案表明它是可能的，并且显示了一种比简单的分解方法更有效的方法。然而，正如 cmets 中所指出的，这种提出的方​​法仍然不如使用更先进的方法分解数字那样有效。

设 k 为数字的立方根。

检查所有大小为 k 或更小的素数，然后除掉我们找到的所有素数。

我们现在知道结果数是大于 k 的素数的乘积，因此它必须是 1、单个素数或 2 个素数的乘积。 （它不能有超过 2 个素数，因为 k 是数字的立方根。）

我们可以通过简单地测试这个数字是否是一个完美的平方来检测它是否是2个素数的乘积。

假设我们已经预先计算了一个素数列表，这个结果允许我们以 O(n^(1/3) / log(n)) 计算结果。

示例 1

假设我们有数字 9409。

立方根是 21.1，所以我们首先检查是否可以被 21 以下的素数整除。

他们都没有找到结果，所以我们计算 sqrt 并找到 9409== 97**2。

这意味着答案是 97。

示例 2

假设我们有数字 9797。

立方根是 21.4，所以我们检查是否可以被 21 以下的素数整除。

他们都没有找到结果，所以我们计算 sqrt 并发现 9797 不是一个完美的正方形。

因此我们得出结论，答案是 9797。（请注意，我们还没有确定分解来得出这个答案。实际上分解是 97*101。）

Answer 2

Maple 和 Mathematica 都通过因式分解然后将每个素数的一个副本相乘来计算数字的无平方内核（请参阅https://oeis.org/A007947），所以我怀疑是否有更好的方法。

Answer 3

另一种方法是从数字本身开始。它显然是所有主要因素的产物。您想消除所有功率大于一的因素。因此，您不介意该数字是否具有因子 2，但您确实介意它是否具有因子 4 (2^2)。我们可以通过去除多余的因素来解决问题。

简单伪代码：

method removeHigherPrimePowers(number)
  temp <- number
  primes <- [2, 3, 5, 7 ...]
  for each p in primes
    factor <- p * p  // factor = 4, 9, 25, ...
    while (temp MOD factor = 0)
      temp <- temp / p  // Remove extra factor of p
    endwhile
  endfor
  return temp
endmethod

数字正在被分解，但分解有点隐藏。所有这些MOD 语句都做同样的工作。所节省的只是一定数量的核算，跟踪迄今为止发现的因素，并在最后将它们相乘。

正如彼得所说，您可以测试直到立方根的所有素数，然后检查剩余的数字是否为平方。