计算从给定数 N 相乘时的非质数对的数量，

Question

形成N的非素数对是2个不同的非素数，其中数字的乘积为N。

1

例如 对于 N = 24，有 2 个好对（构成 N 的非质数对）(4,6), (1,24), 但是 (2,12), ( 3,8) 不好。

注意：对于任意 2 个数字 a 和 b pair(a,b) = pair(b,a)。

还有一个条件，如果这个数是一个特殊数，那么 output = -1 否则计算非素数的个数。

如果数可以表示为三个素数的乘积，则称为特殊数。示例：12 是一个特殊的数字，因为 12=2*2*3；

我尝试了使用 https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes 的蛮力方法， 这需要 O(N*log(log(N))。

“除了蛮力还有什么更优化的解决方法吗？”

任何想法都会受到赞赏。

提前致谢。

Answer 1

首先，Eratosthenes 的筛子是 O(N*log(log(N))列出所有低于或等于 N 的素数（当 well implemented 时）。

第二：假设您将您的数字分解为具有多重性的 Q 素数，如果不进行筛选，最坏的情况是 O(sqrt(N)) 的过程（最坏的情况：您的数字是素数）。所以你有一张地图：

• p₀ -> 多重性 m₀
• p₁ -> 多重性 m₁
• ...
• p_Q -> 多重性 m_Q

至少乘以 2 个质因数得到多少个除数？

嗯，会有 m0*m1*...mq [更正这里]。为什么？好吧，准备一个由每个因子的幂生成的所有除数的列表（包括 p_i⁰==1），但删除具有 @ 幂的除数987654324@。

• {1, p₀, p₀², ...p_{0^m0} 是 m0 生成除数的方法，除 p0 外具有 p0 的幂}
• {1, p₁, p₁², ...p_{1^m1} 是 m1 生成除数的方式，除 p1 外具有 p1 的幂}
• ...
• {1, p_Q, p1^Q, ...p1^mQ} 是mQ使用pQ 的幂生成除数的方法

具有非素因数的所有组合的数量（因为1 已经包含在每个集合中，并且每个素因数本身被排除在外）将是上述所有子集的笛卡尔积的基数 - 因此产品个别基数，因此m0*m1*...mq

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代码 - Java

import java.util.HashMap;
import java.util.Map;

class Example {

  static void factor(long N, Map<Long, Short> primesWithMultiplicity) {
    // some arg checking and trivial cases
    if(N<0) N=-N;
    if(0==N) {
       throw new IllegalArgumentException(
         "Are you kidding me? Every number divides 0, "+
         "you really want them all listed?"
       );
    }
    if(1==N) {
      primesWithMultiplicity.put(1L,(short)1);
      return;
    }

     // don't try divisors higher than sqrt(N), 
    // if they would have been detected by their composite-complement 
    for(long div=2; div*div < N; ) {
      short multiplicity=0;
      while((N % div)==0) {
        multiplicity++;
        N /= div; // reduce N
      }
      if(multiplicity>0) {
        primesWithMultiplicity.put(div, multiplicity);
      }
      div+= (div == 2 ? 1 : 2); // from 2 to 3, but then going only on odd numbers
    }
    // done.. well almost, if N is prime, then 
    // trying to divide up to sqrt(N) will lead an empty result. But,
    // in this case, N will still be at original value (as opposed 
    // to being 1 if complete factored)
    if(N>1) {
      primesWithMultiplicity.put(N, (short)1);
    }
  }

  static int countDistinctCompositePairs(long N) {
    HashMap<Long, Short> factoringResults=new HashMap<>();
    factor(N, factoringResults);
    int ret=1;
    for(short multiplicity : factoringResults.values()) {
      ret*=multiplicity;
    }
    return ret/2;
  }

  static public void main(String[] args) {
    System.out.println(countDistinctCompositePairs(24));
  }
}

Answer 2

由于您没有提到约束，我假设 1

这是相同的代码。

int a[1000001];
a[1]=1;
for(int i=2;i*i<1000001;i++)
{
    if(a[i]==0)
    {
        for(int j=2*i;j<1000001;j+=i)
        a[j]=i;
    }
}

现在如果数字是素数，你的答案是 0。

if(a[n]==0) 
cout<<'0';

如果它是半素数（两个素数的乘积），你的答案将是 1。

if(a[n/a[n]]==0)
cout<<"1";

如果是特殊的话

int x=n/a[n];
if(a[x/a[x]]==0)
cout<<"-1";

如果它不满足任何上述条件，则计算所有非素除数。

int c=0;
for(int i=1;i*i<n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            if(a[i]!=0&&a[n/i]!=0)
            c++;

        }
    }

希望这会有所帮助！