这个素数测试函数的时间复杂度

Question

这个函数的时间复杂度是多少

bool prime(int n) {
    if(n <= 1) {
        return false;
    } else if(n <= 3) {
        return true;
    } else if(n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {
        return false;
    } else {
        for(int i = 5; i * i <= n; i += 6) {
            if(n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

如果我不得不猜测，那将是

O(sqrt(log(n)))

Answer 1

每个 if 都是常数时间。

for 循环一直执行到i * i 到达n 这意味着它被执行了sqrt(n) / 6 次。所以复杂度是O(sqrt(n))。

它没有衡量素数的密度与1/log(n) 成正比（这可能是您解决方案中log(n) 的来源。

请注意，时间复杂度（无形容词）通常被认为是最差的时间复杂度：

Time complexity - Wikipedia

由于算法的运行时间在相同大小的不同输入之间可能会有所不同，因此通常会考虑worst-case time complexity，这是给定大小的输入所需的最长时间。不太常见且通常明确指定的是average-case complexity

在这种情况下，平均时间复杂度更难计算。当n 不是质数时，您必须证明平均循环终止的速度有多快。