初等性检验比筛法快？

Question

我用 python 写了两个素数测试。第一个是基于试验划分，第二个是埃拉托色尼筛。我的理解是 sieve 的时间复杂度应该比 Trial 小，所以 sieve 应该渐近更快。

但是当我运行它时，试用分区要快得多。例如，当n = 6*(10**11)、is_prime(n) 用时不到一秒，但is_prime_sieve(n) 实际上永远不会结束！我是不是把筛子写错了？

我的代码是：

# determines if prime using trial division
def is_prime(n):
    d = {}
    u = math.floor(math.sqrt(n))
    i = 2
    # trial division: works pretty well for determining 600 billion
    while (i <= u):
        if (n % i == 0):
            return False
        i += 1
    return True

# primality test with sieve
def is_prime_sieve(n):
    # first find all prime numbers from 2 to u
    # then test them
    u = math.floor(math.sqrt(n))
    prime = {}
    lst = range(2, int(u)+1)
    for i in lst:
        j = 2
        prime[i] = True
        while (i*j <= u):
            prime[i*j] = False
            j += 1
    while (u >= 2):
        if (u not in prime) or (prime[u]):
            if (n % u == 0):
                return False
        u -= 1
    return True

Answer 1

对于 Erastothenes 筛子，您每次都在重新计算筛子。筛子应该被缓存，以便您只生成一次。当您构建一次筛子然后执行 许多 素性检查时，它会很好地工作；如果只检查一个数字，效率非常低。

顺便说一句，这意味着您需要预测最高质数并生成直到该数的筛表。

如果操作正确，is_prime_sieve 会变得简单：

def is_prime_sieve(n):
    return prime[n]

您不需要while 循环。

Answer 2

筛子找到从 1 到 n 的 所有 个素数。计算 一个 筛子比对每个数字进行试除法要快得多。显然，如果你确定 所有 个从 1 到 n 的素数，然后丢弃前 n-1 个数字的所有信息，这是非常低效的。

这就像比较公共汽车和两座跑车的速度。如果你需要从 A 到 B 带 50 个人，公共汽车要快得多。如果你只带一个乘客，猜猜看，跑车更快。

Answer 3

但即使使用传统的筛子构建方法，仍会发生太多事务。 我开发了一种无需除法即可提取素数的方法（除了数据管理目的），它适用于 Eratosthenes 的基本筛法。我不必设置任何上限或下限，算法是完全开放式的。我开发了一个数据字符串，我可以从中找到计算范围内的任何位置，并提取子集范围内的所有素数。我不浪费除法计算。