我的素性测试的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What's the Time Complexity of my Primality Test?我的素性测试的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2019-01-08 23:02:21
【问题描述】：

我对如何计算时间复杂度有基本的了解，但由于素数的随机性，我不确定在这种情况下如何计算。

快速解释 --> 本质上，我一直在计算余数，以便知道下一个素数是什么时候。

我的代码：

import math

n = int(input("Enter the number:\t"))

primeList = []
checkList = []

number = 3
isPrime = True
while number <= math.sqrt(n) and isPrime:

    isChanged = False
    for i, checkNum in enumerate(checkList):
        if checkNum == 1:
            isChanged = True
            checkList[i] = primeList[i]
        else:
            checkList[i] = checkNum - 1

    if not isChanged:

        primeList.append(number)
        checkList.append(number)

        if n % number == 0:
            isPrime = False

    number += 2

if isPrime:
    print("Prime")
else:
    print("Not Prime")

【问题讨论】：

我看不出有什么原因，答案如何受到质数分布的影响，复杂度是 O(sqrt(n))，是的，有更好的算法，特别是如果你想知道这个数是否是素数，并且对因子不感兴趣。
@guidot 抱歉，这是我的错（我发布了我的代码的早期版本）。在我当前的版本（不起作用）中，我一次捕获每个连续素数，因此每次迭代最多捕获一个素数，而不是捕获 0-5 之间。所以 13、15、17、19 会在一次迭代中被捕获，但在下一次迭代中，只有 23 会被捕获，但随后会被捕获 29 和 31。那么它的时间复杂度是多少呢？
π(N) ~ N/log(N)
顺便说一句，我在一个循环中运行了你的代码，并将时间绘制为范围内 n 的函数（1,10^9），由于某种原因它是线性的。

标签： python algorithm time-complexity primality-test

【解决方案1】：

你的算法好像是O(n/log(n))

有sqrt(n) 通过外循环。内部循环由小于sqrt(n) 的素数数量限制。通过Prime Number Theorem，这是由sqrt(n)/log(sqrt(n)) 渐近给出的。根据对数定律，这相当于sqrt(n)/(0.5*log(n)) = 2*sqrt(n)/log(n)。因此，整体复杂度为

O(sqrt(n)*2*sqrt(n)/log(n)) = O(2*n/log(n)) = O(n/log(n))

不用说，这不是检查n 是否为素数的有效方法。它比 O(n) 天真检查是否能被所有小于 n 的数字整除好一点。

【讨论】：