为什么我们检查 i <= sqrt(n) 来确定一个数是否为素数？ [复制]答案

【问题标题】：Why do we check i <= sqrt(n) to find if a number is prime or not? [duplicate]为什么我们检查 i <= sqrt(n) 来确定一个数是否为素数？ [复制]
【发布时间】：2020-04-13 21:40:43
【问题描述】：

我知道这个问题之前已经回答过，但我不太明白对那个问题给出的解释。

我在 HackerRank 上写了 30 天的代码，其中一个练习是检查一个数字是否为素数。不幸的是，我自己做不到，所以我在多次尝试后检查了给定的解决方案。即使在查看解决方案之后，我也无法理解其中一行：

// Check for primality using odd numbers from 3 to sqrt(n)
for(int i = 3; i <= sqrt(n); i += 2){
    // n is not prime if it is evenly divisible by some 'i' in this range
    if( n % i == 0 ){ 
        isPrime = false;
    }
}

为什么在for 循环中使用sqrt(n)？

【问题讨论】：

您阅读的解释是什么？你到底有什么不明白的？
考虑一个大于平方根的数字，如果它是总数的一个因素，那么它的对应物应该是什么？然后考虑一等于平方根
取一些特定的 n，例如 n = 101。要确保它是素数，您必须确保它没有被 2 到 100 之间的任何数字整除。现在，如果您只检查奇数怎么办从 3 到 99？最后，如果你只检查从 3 到 9 的奇数呢？您需要检查从 11 开始的数字吗？还是说 101 是素数就足够了？
n 除以任何因子的结果将是另一个因子。所以对于任何因素f，值n/f 是另一个因素。如果f 大于n 的平方根，则n/f 必须小于n 的平方根。
有很多重复：Why do we check up to the square root of a prime number to determine if it is prime?，Why we can use sqrt(n) instead of n/2 as an upper bound while finding prime numbers?，Why do we only check up to the square root of a prime number to determine if it is prime? Can't we use cube root?

标签： primes primality-test

【解决方案1】：

假设n 是一个合数。

然后，n = ab，其中a 和b 都在1 和n 之间。

如果a > sqrt(n) 和b > sqrt(n)，那么这意味着ab > sqrt(n)*sqrt(n) 这基本上意味着ab > n，这与ab = n 的假设相矛盾。

因此，任一因子（a 或 b）必须小于 sqrt(n)，或两者都等于它。所以如果n 是复合的，n 必须有一个素因数p <= sqrt(n)

【讨论】：