理论计算机科学：这个问题与顶点覆盖有关吗？答案

【问题标题】：Theoretical computer science: is this problem related to vertex cover?理论计算机科学：这个问题与顶点覆盖有关吗？
【发布时间】：2020-08-03 02:54:40
【问题描述】：

我有以下问题，似乎与顶点覆盖问题有一些相似之处。

我们有一个有向图 G=(V,E) 和 |V|顶点和 |E|边缘。让我们假设一个顶点代表一个人，从顶点 A 到顶点 B 的一条边代表从 B 到 A 的信息路径，即如果给 B 一条信息，那么 A 也有它。但是，如果另一条边从顶点 C 到顶点 A，那么信息将不会到达 C，除非从 C 到 B 有一条边，或者如果信息也直接提供给 A。

现在的问题是，通过向（最多）k 个顶点/人提供信息，我们可以达到的最大顶点/人数是多少。我认为这与顶点问题密切相关，但我们只需要覆盖 k 个顶点而不是全部。但它似乎仍然不太适合其他问题。

谁能说出一个具有相似结构的众所周知的问题？这将帮助我更好地接近它的近似算法。

编辑：我对这个问题的优化方面很感兴趣，但在我看来，最佳方法是选择一组尽可能多的有联系的人，然后从所有其他人中删除选定的人组连接的人并重复该过程。那么问题就出在 P 中，但它实际上是 NP 难的。这个我没看到。

【问题讨论】：

澄清一下——如果存在从一个节点到另一个节点的路径，信息是否会流动？或者是否需要从第一个节点到第二个节点有直接边？
好问题。不，信息只会从它的起源处传播一步，但只会沿着边缘的相反方向传播。例如，如果信息被放置在一个顶点或只有出边的人，那么信息只会到达已经拥有它的人。这种表示可能看起来令人困惑和颠倒，但这就是问题的表述方式。

标签： graph computer-science graph-algorithm social-networking vertex-cover

【解决方案1】：

您在此处描述的内容与dominating set 问题密切相关。支配集是一组节点，其中每个节点要么在集合中，要么位于另一端点在集合中的边的末端。在您的情况下，您更正确地看待有向图中的支配集问题，并且您的图恰好有反转的边缘。

众所周知，这个问题是 NP 难题，因此您可能需要寻找近似算法。

【讨论】：

支配集与我寻找的相似，但我仍然只想找到一个可以标记 k 个节点的“子支配集”。这k个节点不需要覆盖图中的所有节点，至少m个即可。那么这可能是支配集问题的优化问题？
我将尝试再次制定自己：这是一个主要的集合问题，我们尝试通过选择 k 个节点来覆盖尽可能多的节点。如果边缘向外，则选择的每个节点将依次“标记”或包括其相邻节点。（忘记我在上一条评论中提到的 m）。
这听起来像是用支配集问题来表述你的问题的一种方式！您尝试优化可以覆盖的内容而不是覆盖所有内容这一事实并不会改变难度，因为在理想情况下，您可以选择 k 个节点来覆盖所有内容。