两棵二叉树同构是什么意思？答案

【问题标题】：What does it mean for two binary trees to be isomorphic?两棵二叉树同构是什么意思？
【发布时间】：2010-10-19 01:28:13
【问题描述】：

两棵二叉树同构是什么意思？我一直在网上寻找，似乎找不到明确的解释。

据我了解，如果两棵树具有相同的形状，它们就是同构的。所以我猜测两个相同的树可以在节点中包含不同的值。

【问题讨论】：

标签： tree binary-tree computer-science isomorphism

【解决方案1】：

以下条件必须满足两棵树才能同构：
1. 两棵树是同构的当且仅当它们在每一层中保持相同的层数和相同的顶点数。

2.两棵树是同构的当且仅当它们具有相同的度谱。

3.两棵树是同构的当且仅当它们在每个级别上具有相同的谱度。

一个顶点的叶子后代总数和顶点的层数都是树树同构不变量。

IN 简单的话：
如果可以通过执行任意数量的翻转（即交换多个节点的左孩子和右孩子）从另一棵树获得一棵树，则两棵树是同构的。

同构树的例子：

参考： 1.http://www14.in.tum.de/konferenzen/Jass03/presentations/eterevsky.pdf 2.http://www.geeksforgeeks.org/tree-isomorphism-problem/

【讨论】：

我不认为这个定义是正确的，除非“同构”对于树来说意味着其他东西而不是图。即使是这样，我也不确定您将如何定义同态，或者您对同构的定义如何推广到 n 叉树。考虑高度为 3 且有 3 个节点的二叉树，以及高度为 2 和 3 个节点的二叉树。两者之间存在同构，但您提供的定义使两者失去同构的资格。

【解决方案2】：

Isomorphic 来自希腊语“same shape”（如 isobar 是气压相同的点，polygon 表示“多面”），所以您的理解是正确的。但是不要误以为在这种情况下形状是 physical 形状（就像树有一个根、一个左节点和一个右节点；请参见下面的示例）。数学家有自己的语言，只有有时与英语有短暂的关系:-)

这不仅仅是二叉树。在数学中，两个结构是同构的，如果它们的属性被保留而不考虑它们的表达式（你可以有一个函数将 A 转换为 B，另一个从 B 转换为 A 而不会丢失信息）。

对于您的特定情况，保留的是树中的信息。例如，如果该信息是已排序的元素 {1,2,3}，则树根本不必是相同的物理形状 - 以下两个将是同构的：

  2      1
 / \      \
1   3      2
            \
             3

排序链表（或排序数组，就此而言）也是同构的，因为在这种情况下，两者之间的转换不会丢失任何信息。

如果二叉树的使用方式与排序顺序无关（即，“袋”类容器），那么信息将只是任何顺序的内容，并且以下所有内容都是同构的（即倒数第二个只是一个包，最后一个是列表）：

  2      1           2   3                   +---+  +---+  +---+
 / \      \         /     \      +-------+   | 3 |->| 1 |->| 2 |
1   3      2       1       2     | 1,3,2 |   +---+  +---+  +---+
            \     /         \    +-------+
             3   3           1

当然，根据您的需要，未排序的树可能会被认为有点浪费，但这与本次特定讨论无关。

【讨论】：

【解决方案3】：

我认为你的理解是非常正确的。如果忽略这些值而只看结构，那么对于第一棵树中的每个节点，在另一棵树中都必须有一个对应的节点，反之亦然。

自然，两棵树的节点数相同。此外，您可以编写一个（超朴素）算法来通过尝试所有可能的映射函数来确认这种同构，并确保对于第一棵树中映射到另一棵树中的节点的每个节点，相应的映射发生在父母和两个孩子。显然有有效的算法来检查这一点。

首先阅读graph isomorphism 可能会对您有所帮助；树是一种特殊的（并且更容易解决）的情况，因为它们没有循环。

【讨论】：