以下算法的 3Sum 问题的时间和空间复杂度是多少？

Question

有一个问题要求返回数组中所有唯一的三元组元素，它们加起来为零（交换三元组中两个元素的位置不算作唯一）。

我想出了以下代码：

function threeSum(nums) {
  nums.sort((a, b) => a - b);
  const result = [];
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    // skipping duplicates
    if (i !== 0 && nums[i] === nums[i - 1]) continue;
    let left = i + 1;
    let right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
      const s = nums[i] + nums[left] + nums[right];
      // too small; move to the right
      if (s < 0) left++;
      // too big; move to the left
      else if (s > 0) right--;
      // bingo
      else {
        result.push([nums[i], nums[left], nums[right]]);
        //skipping duplicates
        while (left + 1 < right && nums[left] === nums[left + 1]) left++;
        while (right - 1 > left && nums[right] === nums[right - 1]) right--;
        left++;
        right--;
      }
    }
  }
  return result;
};
// expected output: [[-4,-2,6],[-4,0,4],[-4,1,3],[-4,2,2],[-2,-2,4],[-2,0,2]]
console.log(threeSum([-4,-2,-2,-2,0,1,2,2,2,3,3,4,4,6,6]))

我认为时间复杂度是O(n^2)。开头有一个排序，我们假设是 O(n log n) 并且嵌套循环大约工作 (n^2)/2 次，转换为 O(n^2)。所以，最后，我们只剩下 O(n log n + n^2) 并且由于 n log n 的程度较小，它被删除了，剩下的就是O(n^2).

我不太确定空间复杂度，但直觉上我猜这是一个 O(n)。

能否请您纠正/确认我对时间和空间复杂度的推理/猜测？

Answer 1

这看起来像是在二次时间内求解 3SUM 的标准方法。但是，我不同意关于空间复杂度的其他答案，并认为它是二次的，因为可以有许多不同的三元组二次求和为 0。

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考虑以下示例：

[1, -1, 2, -2, ..., n-1, 1-n, n, -n]，其中n 是偶数。

在这种特殊情况下，有 n²/4 - n/2 不同的三元组总和为 0（请参阅下面的此结果的推导）。这是数组大小的二次方（数组长度为2*n 元素）。因为您存储所有这些解决方案，这意味着您需要二次内存，而线性 O(n) 不会削减它。

因此，最坏情况的空间复杂度也是二次的（很容易证明，不能有多个不同的三元组总和为 0 的二次方以上）。

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推导结果：

对于这个序列中的任何正数a，我们可以选择b = k和c = -(a+k)得到一个三元组，其中a是绝对值中最小的元素，前提是k > a和a+k <= n即a < k <= n-a。这给了我们n-2*a 对k 的选择（我们从不计算两次，因为b 总是积极的，c 总是消极的）。

对所有可能的a 求和，我们总共得到： sum((n-2*a) for a in 1...n/2) = n²/4 - n/2 = Ω(n²).

Answer 2

是的，时间复杂度为 O(n^2)，其中 n = nums.length，您对此本身的解释就足够了。

空间复杂度 O(n) 也是正确的，因为 sort() 方法中使用的合并排序算法具有这种空间复杂度。空间复杂度是指除了给定的问题特定变量之外，您在代码中编写的额外元素/变量空间。对于除sort()方法之外的代码，有两个变量'left'和'right'以及一个数组结果，所以这个循环的空间复杂度为O(n+2)，然后在内部while循环中对应它们也有一个变量's'，那么请注意在每次迭代中都有两种可能性：-

1. 它是同一个容器（即内存位置），其内容（即变量的值）会发生变化，因此总体而言它只有 3 个容器已被使用，其空间复杂度为 O(constant) 或简单地 O(1)李>
2. 每次为变量分配不同的容器以获取其内容；但是，这总是伴随着清除前一个容器的保留。因此，总的来说，我们一次只有 3 个额外的容器，这将再次导致 O(1) 的空间复杂度。

现在程序的整体空间复杂度为 O(n)+O(n+2)+O(1)，最终解为 O(n)。

希望对你有帮助！

Answer 3

我同意您对时间复杂度的看法。您在循环中有一个循环，并且您总是将内部循环中的指针移动至少 1（left 或 right）。所以，就像你说的，O(n^2 / 2) 或 O(n^2)

编辑：对于空间复杂性，我同意 Tassle 的回答