无类型 lambda 演算的冒险

Question

我们偶尔会有人询问如何在 Haskell 中实现无类型 lambda 演算。 [当然，我现在无法找到这些问题中的任何一个，但我确定我已经看到了！ >

做这样的事情很简单

i = \ x -> x
k = \ x y -> x
s = \ f g x -> (f x) (g x)

这非常有效。但是，一旦您尝试做类似的事情

s i i

类型检查器正确地抱怨无限类型。基本上，无类型 lambda 演算中的 everything 都是一个函数——这基本上意味着所有函数都有 infinite arity。但是 Haskell 只允许有限元的函数。 （因为，真的，你为什么想要无限的数量？）

好吧，事实证明我们可以轻松避开这个限制：

data Term = T (Term -> Term)

T f ! x = f x

i = T $ \ x -> x
k = T $ \ x -> T $ \ y -> x
s = T $ \ f -> T $ \ g -> T $ \ x -> (f ! x) ! (g ! x)

这完美地工作，并允许构造和执行任意 lambda 表达式。例如，我们可以轻松地构建一个函数来将 Int 转换为 Church 数字：

zero = k ! i
succ = s ! (s ! (k ! s) ! k)

encode 0 = zero
encode n = succ ! (encode $ n-1)

再次，这非常有效。

现在写一个解码函数。

……是的，祝你好运！问题是，我们可以创建任意 lambda 项，但我们不能以任何方式检查它们。所以我们需要添加一些方法来做到这一点。

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到目前为止，我想到的最好的主意是：

data Term x = F (Term x -> Term x) | R (Term x -> x)

F f ! x =            f x
R f ! x = R $ \ _ -> f x

out :: Term x -> x
out (R f) = f (error "mu")
out (F _) =   (error "nu")

i = F $ \ x -> x
k = F $ \ x -> F $ \ y -> x
s = F $ \ f -> F $ \ g -> F $ \ x -> (f ! x) ! (g ! x)

我现在可以做类似的事情

decode :: Term Int -> Int
decode ti = out $ ti ! R (\ tx -> 1 + out tx) ! R (\ tx -> 0)

这对教堂布尔和教堂数字非常有用。

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当我开始尝试做任何高级别的事情时，事情开始变得非常糟糕。在丢弃所有类型信息以实现 untyped lambda 演算之后，我现在正努力说服类型检查器让我做我想做的事情。

这行得通：

something = F $ \ x -> F $ \ n -> F $ \ s -> s ! x
nothing   =            F $ \ n -> F $ \ s -> n

encode :: Maybe x -> Term x
encode (Nothing) = nothing
encode (Just  x) = something ! x

这不是：

decode :: Term x -> Maybe (Term x)
decode tmx = out $ tmx ! R (\ tx -> Nothing) ! R (\ tx -> Just tx)

我已经尝试了十几种轻微的变化；他们都没有类型检查。不是我不明白它为什么会失败，而是我想不出任何方法让它成功。 （特别是，R Just 显然是错误的类型。）

这几乎就像我想要一个函数forall x y. Term x -> Term y。因为，对于 纯 无类型的术语，这应该始终是可能的。只有涉及R 的条款不起作用。但我不知道如何在 Haskell 类型系统中表达它。

(例如，尝试将F的类型更改为forall x. Term x -> Term x。现在k的定义是错误类型的，因为内部F $ \ y -> x实际上不能返回any类型，但只有x的[现已修复]类型。）

比我聪明的人有更好的主意吗？

Answer 1

好的，我找到了一个解决方案：

上面的代码有Term x，由R的结果类型参数化。与其这样做（并吓坏类型检查器），不如构造一些类型Value，它可以表示您想要返回的每种结果类型。现在我们有

data Term = F (Term -> Term) | R (Term -> Value)

将所有可能的结果类型折叠成一个不透明的Value 类型后，我们就可以开始工作了。

具体来说，我选择的类型是

data Value = V Int [Term]

所以 Value 是一个 Int 代表一个 ADT 值构造函数，后面跟着一个 Term 代表该构造函数的每个字段。有了这个定义，我们终于可以做到了

decode :: Term -> Maybe Term
decode tmx =
  case tmx ! R (\ _ -> V 0 []) ! R (\ tx -> V 1 [tx]) of
    V 0 []   -> Nothing
    V 1 [tx] -> Just tx
    _        -> error "not a Maybe"

同样，您可以像这样对列表进行编码和解码：

null =                        F $ \ n -> F $ \ c -> n
cons = F $ \ x -> n $ \ xs -> F $ \ n -> F $ \ c -> c ! x ! xs

encode :: [Term] -> Term
encode (  []) = null
encode (x:xs) = cons ! x ! encode xs

decode :: Term -> [Term]
decode txs =
  case out $ txs ! R (\ txs -> V 0 []) ! F (\ tx -> R $ \ txs -> V 1 [tx, txs]) of
    V 0 []        -> []
    V 1 [tx, txs] -> tx : decode txs
    _             -> error "not a list"

当然，您必须猜测您需要应用哪些解码功能。但这就是适合您的无类型 lambda 演算！

Answer 2

这不是答案，但评论太严格了。

R Just 是错误类型的，因为它的类型是递归的，但我们总是可以将这种类型级别的递归包装在一个数据类型中：

data Fix2 g f = Fix2 { run :: g (f (Fix2 g f)) }

Fix2 可以用Fix 和类型构造函数的组合来表示，但我不想让事情复杂化。

那么我们可以将decode定义为

decode :: Term (Fix2 Maybe Term) -> Maybe (Term (Fix2 Maybe Term))
decode tmx = run $ out $ tmx ! R (Fix2 . const Nothing) ! R (Fix2 . Just)

一些测试：

isSomething :: Term (Fix2 Maybe Term) -> Bool
isSomething = isJust . decode

i = F id

main = do
    print $ isSomething (something ! i) -- True
    print $ isSomething  nothing        -- False

但显然Term (Fix2 Maybe Term) 与Term a 相差甚远。