字符串中可能的最大可能回文子串数量的数学证明？答案

【问题标题】：Mathematical proof of maximum possible number of palindromic substrings possible in a string?字符串中可能的最大可能回文子串数量的数学证明？
【发布时间】：2022-01-16 10:18:49
【问题描述】：

我需要证明在一个包含多个字符 n 的字符串中，最多有 n 个不同的、非空的回文子字符串是可能的。我可以理解这是因为每个字符本身都可以是回文，因此可能的最大子字符串数将等于字符串中的字符数。但是，我似乎无法以数学证明的形式表达这一点。我该怎么做？

【问题讨论】：

aaa 尺寸 3：a，a，a，aa，aa，aaa，计数 6。这似乎反驳了你的断言。我不明白。除非你打折单个字符？
我提到了“不同”。在您的情况下，如果我们只计算不同的回文，那么我们将只计算一次 a 和 aa，而不是三个 a 和两个 aa。
所以项目是模糊的。也许会复发；一个表明，与另一个项目，最多可以添加一个？也许 CS 或数学会给你带来更多的结果？
重复字符数似乎是个好主意。如果您有一个包含 n+1 个字符的字符串，请考虑最后一个字符的可能性：它可能等于也可能不等于前 n 个字符中出现的字符。每个案例增加了多少回文数？

标签： algorithm math computer-science

【解决方案1】：

给定 xc，其中 x 是任意字符串，c 是任意字符：

xc 中所有不在 x 中的子字符串必须是 xc 的后缀。如果它们是回文，那么它们的形式为 cyc，其中 cy 是 x 和 y 的后缀是回文或空。

想象一下有两个这样的新回文后缀。由于它们是同一个字符串的不同后缀，它们的长度必然不同，所以我们有cyczc，其中z和ycz都是回文或空。

如果 ycz 是回文，则需要考虑几种情况。

如果 len(y) = len(z)，那么这意味着 y = z 并且 czc 因此已经 x 的子串——矛盾。
如果z更短，那么我们可以再次划分成cz^rcwczc，但是z是一个回文所以 z^r = z 和我们有同样的矛盾。
如果z更长，那么我们可以划分成cycwcy^rc，用wcy^r = z，这是一个回文，所以 z = ycw 和 czc 已经出现在 x 中的矛盾。

所以...向字符串添加单个字符可以引入至多一个新的回文子字符串。因此，任何字符串中此类子字符串的总数不能超过字符串的长度。

【讨论】：

1个字符的字符串呢？
1 个字符的字符串是微不足道的——只有在字符串中没有其他出现该字符的情况下，它们才是新的，在这种情况下，唯一的回文后缀是单个字符。
在证明方面，没有任何关于 1 字符的字符串使断言无效，即如果你有两个新的回文后缀，那么你必须有 cyczc 形式。