在具有约束的图中找到顶点不相交路径的最大数量答案

【问题标题】：find the maximum number of vertex-disjoint paths in a graph with a constraint在具有约束的图中找到顶点不相交路径的最大数量
【发布时间】：2012-07-11 12:36:48
【问题描述】：

给定一个无向图 G=(V,E)，每条边都与一个非负值相关联。

如何在图 G 上找到从 s 到 t 的顶点不相交路径的最大数量，约束条件是路径长度的总和不大于预定义的值 T。

【问题讨论】：

只是出于好奇，这个问题的背景是什么？
最大不相交路径数的真正含义是什么？是长度最大的路径，还是节点最多的路径，还是不同路径的总数？
@Skyler，我认为他的意思是顶点独立路径的最大数量。 – Ido.Co 5 分钟前

标签： algorithm graph theory np-complete

【解决方案1】：

您可以从将顶点不相交路径问题转换为边不相交路径问题开始。详情请见this answer to other question。

现在您可以求解此图上的Minimum-cost flow problem，以找到任意数量的具有最小路径长度总和的不相交路径。这样做，为每条边分配等于 1 的流量容量，然后在 s 和 t 之间搜索一个最小成本流量，流量等于所需的路径数。

为了找到最大路径数，在二分搜索的每个步骤上应用最小成本流过程，从一些初始路径数开始，可以通过以下过程之一确定：

如果您预计最大路径数很大，请为该图求解 Maximum flow problem。
如果您希望路径的最大数量很小，请使用单向二分搜索（也使用每个步骤的最小成本流程过程）。

【讨论】：

【解决方案2】：

由于您只对数量的顶点不相交路径感兴趣，因此您可以使用 Menger's theorem（用于证明查看 here），说明如下：

设 G 是一个有限无向图，x 和 y 是两个不相邻的顶点。然后定理指出，x 和 y 的最小顶点切割的大小（移除断开 x 和 y 的顶点的最小数量）等于从 x 到 y 的成对顶点独立路径的最大数量。

但这不满足路径长度之和不大于预定义值T的约束。

为此，您必须将门格尔定理的一个版本用于有界长度的路径呈现在here:http://www.math.elte.hu/~lovasz/scans/mengerian.pdf

【讨论】：