建议一个算法（图 - 可能是 NP-Complete）

Question

有一个城镇网络，由各种整数长度的道路连接。

一位旅行者希望开车从一个城镇到另一个城镇。但是，他不想最小化行驶的距离；相反，他希望尽量减少旅途中的汽油费用。汽油可以在任何城市购买，但是每个城市以不同的（整数）价格供应汽油（因此为什么最短的路线不一定是最便宜的）。 1 个单位的汽油使他能够行驶 1 个单位的距离。 他的车只能在油箱里装这么多汽油，他可以选择在他所经过的每个城市购买多少单位的汽油。找出最低的汽油成本。

有人知道可以用来解决这个问题的有效算法吗？即使是这类问题的名称也会很有用，这样我就可以自己研究了！显然，它与最短路径问题并不完全相同。任何其他提示表示赞赏！

编辑-我遇到的实际问题表明将有

Answer 1

您也可以将其表述为整数线性规划 (ILP) 问题。优点是这个任务有许多现成的求解器，复杂性不会像罐子大小的彼得斯解决方案那样快速增长。

在这个特定问题中的变量将是在任何一个城镇购买的汽油量、沿途任何城镇的汽车油箱量以及实际使用的道路。 约束条件必须保证汽车在每条道路上消耗必要的燃料，并且在任何城镇的燃料量不低于 0 或超过 MAX 个单位，并且道路构成从 A 到 B 的路径。 目标是购买燃料的总成本。

整个事情可能看起来很可怕（ILP 公式经常这样做），但这并不意味着它无法在合理的时间内解决。

Answer 2

这可以使用遗传算法进行适当优化。遗传算法在一些复杂的问题上击败了人类： http://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_algorithm

遗传算法的要点是：

1. 提出候选解决方案的排名函数
2. 想出一组独特的候选解决方案。初始化它 有一些随机产生的可能性。也许 10 或 100 或 1000...
3. 从池中复制一个候选解并以某种方式对其进行扰动 - 添加一个城镇，删除一个城镇，添加两个城镇，等等。这可能会改善 或使事情变得更糟-您的排名功能将帮助您分辨。哪一个 你选一个？通常，你会选择最好的，但偶尔， 你故意选择一个不是为了避免卡在一个 局部最优。
4. 新解决方案是否已经排名？如果是，请将其丢弃并转到
   1. 如果没有，请继续...
5. 将受干扰的候选者添加回池中，并在其新计算的排名下
6. 继续这样做（从 #3 开始重复），直到您觉得自己已经完成了足够长的时间
7. 最后，选择排名最高的答案。它可能不是 最佳，但应该还不错。

Answer 3

如果您愿意增加图表的大小，可以直接使用Djikstra's algorithm 解决此问题。

假设您的油箱可以容纳 0 到 9 个单位的汽油。

这个想法是将每个城镇分成 10 个节点，城镇 t 的节点 x 表示在城镇 t，油箱中有 x 个单位的汽油。

然后，您可以在此展开图上构建零成本边以表示不同城镇之间的旅行（在此过程中用尽汽油，因此如果距离为 3，您将从 8 级节点转到 5 级节点），并且更多的边表示在每个城镇用一单位汽油加满油箱（费用取决于城镇）。

然后应用 Djikstra 应该给出从开始到结束成本最低的路径。

Answer 4

我会试试这个：

1. 找到从起点到终点的最短路径。 Dijkstra 的算法适用于此。
2. 找出这条路线的最低汽油成本。我不知道有什么现成的算法可以解决这个问题，但除非沿途有许多城市，否则即使穷举搜索也不应该在计算上不可行。
3. 寻找下一条最短路线...

定义精确的停止标准有点困难，最好是在新测试路线的最低成本大于已测试路线的最低成本时停止。

所以，使用 2 种算法，一种用于问题的每个部分。

Answer 5

我认为您可以通过动态编程来解决这个问题。对于每个节点，您保存一组汽油成本元组和使用该汽油的路径长度，其中包含最佳解决方案。您循环遍历所有节点的每一步，如果有一个节点可以去，并且已经有解决方案，那么您循环遍历所有节点，您可以使用解决方案去。您选择最低成本，但请注意：您必须考虑当前节点中的汽油成本。阵列中所有高于当前节点成本的成本，都可以在当前节点购买。请注意，应该重新计算已经有解决方案的节点，因为您可以从那里去的节点可能会改变。您从结束节点开始，将解决方案设置为一个空数组（或一个成本和长度为 0 的条目）。最终的解决方案是在开始时采取解决方案并将每个成本*长度相加。

Answer 6

我认为问题是：汽油是否有可能使潜在的旅行商问题在计算上更可行？如果不是，则没有有效的非逼近算法。

当然，您可以为边缘情况找到有效的解决方案，并且在汽油条件下可能会有更多的边缘情况，例如，总是先考虑这个城市，因为汽油太便宜了。