在二进制矩阵中找到“广义对角线”答案

【问题标题】：Finding a "generalized diagonal" in a binary matrix在二进制矩阵中找到“广义对角线”
【发布时间】：2011-06-21 20:43:01
【问题描述】：

NXN 矩阵中的“广义对角线”是 N 个单元的选择，例如：

从每一行和每一列中只选择一个单元格
每个选定的单元格都包含一个非零值

我正在寻找一种算法来找到 O(n^3) 中的广义对角线。在我看来，以下动态规划算法“足够好”，但我不确定如何分析它的复杂性。

Set<Set<Integer>> failedCache = new HashSet<Set<Integer>>();

List<Integer> find(int[][] matrix, Set<Integer> used, int row) {
    int N = matrix.length;
    if (failedCache.contains(used))
        return null;

    if (row == N) return new ArrayList<Integer>();

    for (int col = 0; col < N; ++col) {
        if (matrix[row][col] == 0)
            continue;

        if (used.contains(col))
            continue;

        Set<Integer> newUsed = new HashSet<Integer>(used);
        newUsed.add(col);
        List<Integer> answer = find(matrix, newUsed, row + 1);
        if (answer != null) {
            answer.add(col);
            return answer;
        }
    }

    failedCache.add(used);
    return null;
}

【问题讨论】：

您是在寻求帮助分析上述算法，还是在 O(n^3) 中解决问题？我认为我有一个 O(n^3) 算法可以使用完全不同的技术解决这个问题，但如果它在这里偏离主题，我不想发布它。另外，您能否详细说明该算法的来源？我不明白它是如何工作的或它试图做什么，而且如果没有对你是如何做到这一点的高级描述，我不确定我能提供多少帮助。

标签： algorithm matrix dynamic-programming

【解决方案1】：

算法在最坏情况下以指数时间运行，因为在以下矩阵上

它会尝试大约 n!可能的组合。

对于多项式时间解，使用矩阵创建二分图，并找到perfect matching。

以矩阵为例

 011
 101
 001

你创建图表

 A    X
 B    Y
 C    Z

带有边 A->Y、A->Z、B->X、B->Z、C->Z。

【讨论】：

感谢您的分析和改进的算法。